Gauss' lov

Svarfordeling fra forelesning:

A og B har samme.

Fluksen er gitt som \( \phi = \vec{E} \cdot \vec{S} \). Både A og B har samme projeksjon inn på et plan normalt på \( \vec{E} \)-feltet. Fluksen er derfor den samme gjennom disse. Det er altså kun størrelsen av flatens normalt på feltet som bidrar til fluksen.

0

Siden det elektriske feltet er uniformt er fluksen $$ \begin{equation} \Phi = \int_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} = \vec{E} \cdot \int_S \d \vec{S} = \vec{E} \cdot \vec{0} \tag{1} \end{equation} $$ Integralet over hele flaten (av en konstant skalar 1) er null fordi den en lukket. Bidraget fra side 1 blir kansellert av det like store, men motsatt rettede bidraget fra motsatt side, og slik er det for alle sidene.

\( \Phi_1 = \Phi_3 = 0, \Phi_2 = E_0 L^2 \)

Vi finner fluksen fra $$ \begin{equation} \Phi_S = \int_S \vec{E}\cdot \d \vec{S} = \vec{E} \cdot \int_S \d \vec{S} = \vec{E} \cdot \vec{S} \; . \tag{2} \end{equation} $$ Her er \( \vec{E} = E_0 \y \), mens \( \vec{S}_1 = L^2 \x \), \( \vec{S}_2 = L^2 \y \) og \( \vec{S}_3 = L^2 \z \). Vi ser at \( \vec{E} \cdot \vec{S} \) er null for \( S_1 \) og \( S_3 \), mens den er \( E_0 L^2 \) for \( S_2 \).

Her må du bruke Gauss' lov sammen med kunnskapen om hvordan du regner ut fluksen.

Svarfordeling fra forelesninger i 2019:

Negativt

Fordi det ikke er noen ladning inne i sylinderen, vet vi at fluksen ut gjennom sylinderen vil være null. Det elektriske feltet vil stråle ut fra ladningen. Fluksen av det elektriske feltet gjennom \( A \) og \( B \) vil være positive, siden det elektriske feltet vil ha en komponent i samme retning som overflatenormalen, og den komponenten vil peke utover. (Du kan se det ved å tegne inn linjer ut fra \( q \) som representerer retningen til feltet.) Fordi fluksen ut gjennom \( A \) og \( B \) er positive og den totale fluksen er null, må fluksen ut gjennom \( C \) være negativ. Dette er et godt eksempel på en måte å tenke på i fysikk hvor vi bruker en summasjonsregel til å ressonere.

Den er \( q / \epsilon_0 \)

Gauss' lov gjelder for denne flaten. Det er kun ladningene inne i flaten som teller, og det er kun en ladning \( q \) innenfor flaten, de øvrige er utenfor flaten. Fluksen er derfor gitt av Gauss' lov.

\( \Phi = 0 \) og \( E \) behøver ikke være null overalt på kuleflaten

Gauss' lov forteller at fluksen er avhengig av netto ladningen innenfor flaten, og netto ladning er null, dermed er fluksen null. Men det betyr ikke at \( E \) må være null overalt, det er kun overflateintegralet, fluksen, som er null, det kan være positivt noen steder og negativt noen steder. Det er kun når vi vet at feltet er det samme overalt på overflaten pga symmetri at vi kan bruke Gauss' lov til å finne feltet på et enkelt vis.

\( 0 \)

Siden systemet har kulesymmetri kan vi anvende Gauss' lov på en kuleflate inne i kuleskallet med samme sentrum. På denne kuleflaten må feltet være uniformt og rettet i radiell retning, \( \vec{E} = E_r(r) \rhat \). Dermed vil Gauss' lov gi at: $$ \begin{equation} \int_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} = E_r 4 \pi r^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad E = 0 \tag{3} \end{equation} $$

Ikke null overalt inni

Vi kan bruke superposisjonsprinsippet. Inne i kulen er bidraget fra kuleskallet null, mens bidraget fra den andre ladningen vil være gitt av Coulumbs lov. Det elektriske feltet er derfor ikke null inne i kulen.

\( \rho = 2 E_0 \epsilon_0 / a \).

Vi finner ladningstettheten ved å regne ut divergensen til \( \vec{E} \) som er gitt som: $$ \begin{equation} \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{E_0}{a}\left( 2 + 0 + 0 \right) = \frac{2 E_0}{a} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \; . \tag{4} \end{equation} $$ slik at \( \rho = 2 E_0 \epsilon_0 / a \).