Laplace og Poissons likninger

\( \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right) \) i to dimensjoner.

\( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0 \)

Vi finner først \( \nabla V \) og så \( \nabla \cdot (\nabla V) \): $$ \begin{equation} \nabla V = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)V = \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}\right) \; , \tag{1} \end{equation} $$ og \( \nabla \cdot ( \nabla V ) \) er dermed $$ \begin{align} \nabla \cdot ( \nabla V ) &=& \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right) \cdot \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}\right) \tag{2}\\ &=& \left( \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y} \right) \tag{3}\\ &=& \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \; . \tag{4} \end{align} $$

Mulig løsning av Laplace og Poissons likning.

I dette tilfellet er \( \frac{\d^2 V}{\d x^2} = 0 \) som er en løsning av Laplace likning. (Hvis det er en løsning av Laplace likning, er det også en løsning av Poissons likning, men da med \( \rho(x) = 0 \) i det oppgitte intervallet.)

Mulig løsning av Poissons likning.

Ved å sette uttrykket inn i \( \d^2 V/\d x^2 \) ser vi at $$ \begin{equation} \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = - 2 \sin x \; . \tag{5} \end{equation} $$ Dette kan ikke være en løsning av Laplace likning, men kan være en løsning av Poissons likning hvis ladningsfordelingen er \( \rho(x)/\epsilon_0 = - (-2 \sin x) = 2 \sin x \).

Mulig løsning av Laplace og Poissons likning.

Vi setter uttrykket inn i \( \d^2 V/\d x^2 \) og finner $$ \begin{equation} \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 0 \; . \tag{6} \end{equation} $$ Dette er en løsning av Laplace likning.

C

Poissons likning relaterer ladningstettheten til den andrederiverte av potensialet: $$ \begin{equation} \frac{\d^2 V}{\d x^2} = - \frac{\rho}{\epsilon} \tag{7} \end{equation} $$ Hvis vi da ser på de fire forskjellige potensialene ser vi at:

• for potensial A vil den annenderiverte være null bortsett fra i punktet \( x = L/2 \)
• for potensial B vil den annenderiverte være negativ i hele intervallet. Vi kan f.eks. lese dette av som krumningen til kurven, eller vi kan se at kurven er omtrent som \( V(x) = V_0 - c(x-(L/2))^2 \) og den annenderiverte av denne er nettopp konstant og negativ.
• for potensial C og D vil den annenderiverte endre fortegn ved \( x = L/2 \). For C vil den annenderiverte være negativ for \( x < L/2 \) og positiv for \( x > L/2 \), mens for D vil den annenderiverte være positiv for \( x < L/2 \) og negativ for \( x > L/2 \). Siden \( \rho = - \nabla^2 V \) betyr det at for C vil \( \rho \) være positiv for \( x < L/2 \) og negativ for \( x > L/2 \) og for D vil \( \rho \) være negativ for \( x < L/2 \) og positiv for \( x > L/2 \). Det er derfor C som passer best.

Ekstraspørsmål: Kan du se hvilken funksjonsform C må ha for at den skal passe med den oppgitte ladningsfordelingen?

C

Vi ser at C ikke kan ha en annenderivert som er null. A og D har klart en annenderivert som er null. Hva med B? Denne har en annenderivert som er lik null, med unntak av i ett punkt. Dette kan være en grenseverdi som er bestemt. Vi vil i så fall si at B også tilfredsstiller Laplace likning.

A: \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } < 0 \), B: \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \simeq 0 \), C: \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } > 0 \), D: \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \simeq 0 \).

Vi leser av fortegnet til \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \) som krumningen til kurven slik vi er vant til å lese den av i funksjonsdrøfting. Vi ser at punktet A er et lokalt topp-punkt, slik at \( \frac{\partial^2 V^2}{\partial y^2 } < 0 \). Punktet C er et lokalt bunn-punkt silk at \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } > 0 \). For B og D må vi foreta en tilnærming. I punktet B ser det ut til at \( V(0,y) \) går fra å ha et negativt fortegn når A til å ha et positivt fortegn nær C. Vi antar at B ligger midt mellom at at \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \simeq 0 \). For punkt D er det vanskeligere å vurdere. Vi kan bruke samme argument som for B, i så fall er \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \simeq 0 \), eller vi kunne sagt at krumningen fremdeles er positiv, slik som i C, men at den er mindre, slik at \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \) blir positiv, men mindre enn i C. Begge deler er ok tolkninger av den ikke helt presise kurven.

Summen av \( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2 } \) og \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \) skal til sammen bli null.

Ideen er at \( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2 } \) må ha samme størrelse (absoluttverdi), men motsatt fortegn av \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \). Det betyr at i punktet A må \( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2 } > 0 \), i punktet C må \( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2 } < 0 \) og i punktene B og D hvor \( \frac{\partial^2 V}{\partial y^2 } \simeq 0 \) må også \( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2 }\simeq 0 \). Dette er forsøkt skissert i figuren under.

1

Det eneste vi vet om \( V \) på det indre av området er at den må tilfredsstille Laplace likning med en gitt grensebetingelse på randen (yttergrensen) av området. Det er mange muligheter for et slikt potensial avhengig av hva \( V \) er på yttergrensen.

2

Nå er problemstillingen annerleder. Vi vet at \( V \) ikke kan ha en ekstremalverdi i det indre av området. Det betyr at \( V \) ikke kan være større enn det \( V \) er på yttergrensen. Samtidig betyr det at \( V \) ikke kan være mindre enn det \( V \) er på yttergrensen. Siden \( V = 0 \) på hele yttergrensen, betyr det at \( V = 0 \) i hele det indre.

Nei

Vi sjekker hva \( V(x) \) er: \( V(0) = 2\times 0 -1 = -1 \). Dette er forskjellig fra \( V(0) = 0 \). Det betyr at \( V(x) \) ikke er en løsning av Laplace likning med disse grensebetingelsene.

\( V(-1) = -3 \)

Vi finner dette ved å sette inn i \( V(x) \). Da finner vi \( V(-1) = 2 (-1) -1 = -3 \). Grensebetingelsen må derfor være \( V(-1) = -3 \).

Ja

Vi setter inn i uttrykket og finner $$ \begin{equation} \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial V}{\partial r} \right) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{-C}{r^2} \right) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left(C \right) = 0 \tag{10} \end{equation} $$ Dette er alltid null fordi den deriverte av konstanten \( C \) er null. Potensialet er derfor en mulig løsning av Laplace likning.