Krefter mellom ladninger i bevegelse

Forelesning.

Fra Coloumbs lov til en magnetisk kraftlov

(MERK: Dette kapittelet skal skrives om til å ta utgangspunkt i Biot-Savarts lov. Utledningene som er gjort her gir ikke gale resultater, og kan være pedagogisk gode, men du bør være klar over at uttrykkene som er brukt for det magnetiske feltet for enkeltladninger er forenklinger til en ikke-relativistisk situasjon. Dette er nå rettet i læreboken.)

(Lærebok 10.1)

Oppgave.

Oppgave: To ladninger i bevegelse

Figuren viser to ladningen Q1 og Q2 som beveger seg med hastigheter i y-retningen.





a) Hvilken vei virker kraften fra Q1Q2?

Answer.

ˆx

Solution.

Denne oppgaven blir gjennomgått i detalj i det neste eksempelet.

Eksempel.

Eksempel: To ladninger i bevegelse

(Lærebok 10.1.2)

Oppgave.

Oppgave: Krefter mellom ladninger i bevegelse

En ladning Q1>0 i origo beveger seg i z-retningen med en hastighet v1=v1ˆz.

a) Hva er størrelsen og retningen på kraften på en ladning Q2>0 i punktet (a,0,0) med hastigheten v2=v2ˆz? Lag en figur som viser retningen på R og retningen på kraften på Q2.

Solution.





b) Hva er størrelsen og retningen på kraften på en ladning Q2>0 i punktet (a,0,0) med hastigheten v2=v2ˆy? Lag en figur som viser retningen på R og retningen på kraften på Q2.

Solution.





c) Hva er størrelsen og retningen på kraften på en ladning Q2>0 i punktet (a,0,0) med hastigheten v2=v2ˆx? Lag en figur som viser retningen på R og retningen på kraften på Q2.

Solution.





Forelesning.

Magnetisk felt

(Lærebok 10.1.3)

Oppgave.

Oppgave: Felt i forskjellige posisjoner

En ladning Q>0 beveger seg som vist i figuren under.





a) Tegn det magnetiske feltet i hvert av de røde punktene for figuren til venstre. Tegn i hvert tilfelle inn R.

Solution.





Merk at det magnetiske feltet skal bli mindre når R blir større. Dette er ikke vist i figuren.

b) Tegn det magnetiske feltet i hvert av de røde punktene for figuren til høyre. Tegn i hvert tilfelle inn R.

Solution.





Merk at det magnetiske feltet skal bli mindre når R blir større. Dette er illustrert i figuren, men forholdet mellom lengden av vektorene er ikke regnet ut. Dette kan du jo regne ut og visualisere i Python, hvis du vil.

Forelesning.

Biot-Savarts lov

(Lærebok 10.2)

Oppgave.

Oppgave: Finn feltet

Vi ønsker å finne det magnetiske feltet B i punktet P fra en strømførende kabel ved hjelp av Biot-Savarts lov: B(r)=μ04πIdl׈RR2

i systemet som er vist i figuren under.





a) Tegn inn dl i figuren.

Solution.





b) Tegn inn R i figuren.

Solution.





c) Hvilken retning har det infinitesimale bidraget dB(P) fra strømmen i dl?

Solution.

Retningen er gitt av retningen til dl×R som peker inn i planet.

Oppgave.

Oppgave: Finn feltet igjen

Vi ønsker å finne det magnetiske feltet B i punktet P fra en strømførende kabel ved hjelp av Biot-Savarts lov: B(r)=μ04πIdl׈RR2

a) Hva er |dl׈RR2| for tilfellet vist i figuren under?





Solution.

Vi kan her bruke definisjonen av kryssproduktet direkte, hvor |dl׈R|=|dl||ˆR||sinϕ|, hvor ϕ er vinkelen mellom dl og ˆR, ϕ=πθ slik at |dl׈R|=dlsin(πθ)=dlsinθ slik at |dl׈RR2|=dlsinθR2

b) Hva er Idl׈RR2 uttrykt i kartesiske koordinater (x,y,z) og (x,y,z) hvor integralet er over dxdydz og P er i (0,y,0) som vist i figuren under?





Solution.

I dette tilfellet er R=rr=(0,y,0)(x,0,0)=(x,y,0) mens dl=dxˆx. Da finner vi at dl×RR3=dxˆx×(x,y,0)R3=dxyˆz((x)2+y2)3/2.

Oppgave.

Oppgave: Felt fra en bit og det hele

Figuren viser en ledning med en strøm I.





a) Hvilken retning forventer du at B har i punktet P?

Solution.

Jeg forventer at de viktiste bidragene til B kommer fra området hvor R er liten. Der vil bidragene være i retningen dl׈R som vil peke inn i planet.

b) Hvilken retning vil bidraget dB(P) fra linjestykket med lengde dl i rødt ha?

Solution.

Bidraget fra dette elementet er i retningen dl×R hvor R peker fra dl og til punktet P. Dette bidraget vil peke ut av planet.

Eksempel.

Eksempel: Magnetfelt fra sirkulær strøm: analytisk løsning

(Lærebok 10.2.3)

Eksempel.

Eksempel: Magnetfelt fra sirkulær strøm: numerisk løsning

(Lærebok 10.2.3)

Oppgave.

Oppgave: Programsnutt

Hva gjør følgende programsnutt?

import numpy as np
mu04pi = mu0/(4*np.pi)
N = L/a
for i in range(N):
    for j in range(N):
        r = np.array([i*a-x,j*a-y])
	B[i,j] = mu04pi*Idl*np.cross(u,r)/norm(r)**3

Du må selv finne ut hva variablene som ikke er definert er.

  1. Finner magnetfeltet langs en linje med lengde L fra en strøm langs en linje med lengde L
  2. Finner magnetfeltet i et kvadratisk område L×L fra en strøm langs en linje med lengde L
  3. Finner magnetfeltet i et punkt fra en overflatestrøm i et kvadratisk område L×L
  4. Finner magnetfeltet i et kvadratisk område L×L fra et strømelement i origo

Answer.

4

Solution.

Vi ser at vektoren r løpet over et kvadratisk område med størrelse L×L. I hvert punkt ri finner vi det magnetiske feltet fra en strømelement Idlˆu i origo.