(Lærebok 1.3.0-1.3.1)
Det er en uniform ladningsfordeling \( \rho \) i området \( 0 < x < a \), \( 0 < y < b \), \( 0 < z < c \).
a) Skriv ned integralet for den totale ladningen.
\( \int_0^a \int_0^b \int_0^c \rho \d z \d y \d x \)
b) Hva blir integralet?
\( \rho a b c \)
Siden \( \rho \) er konstant kan denne settes utenfor integralet og integralet blir volumet av området ganger volumet: \( \rho a b c \).
Det er en uniform ladningsfordeling \( \rho \) i området \( 0 < x < a \), \( 0 < y < b \), \( 0 < z < c \).
a) Forklar med ord hvordan du vil finne det elektriske feltet i et punkt \( \vec{r} \).
Jeg vil finne bidraget fra et element \( \d v' \) fra Coulomb's lov og deretter integrere over hele intervallet.
b) Skriv ned bidraget til feltet i punktet \( \vec{r} \) fra et lite element \( \d v' \) ved bruk av \( \vec{R} \)-vektoren.
Fra Coulombs lov har vi at: $$ \begin{equation} \d \vec{E} = \frac{\d q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{R}}{R^3} \tag{5} \end{equation} $$ hvor \( \d q = \rho \d v' \).
c) Skriv ned bidraget til feltet eksplisitt --- uten å bruke \( \vec{R} \)-vektoren.
I dette tilfellet er \( \vec{R} = \vec{r} - \vec{r}' = (x,y,z) - (x',y',z') \) slik at bidraget til det elektriske feltet blir: $$ \begin{equation} \d \vec{E} = \frac{\rho \d v'}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(x-x',y-y',z-z')}{((x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2)^{3/2}} \tag{6} \end{equation} $$