Seminar uke 12: Kretser --- del 2

Oppgave

Oppgave: Enkel svingekrets

En krets består av en spole $ L $ og en kondensator $ C $.

a) Hva blir Kirchoffs spenningslov for dette systemet?

Answer.

$$-\frac{Q}{C}-L\frac{\d I}{\d t} = 0$$

b) Hvis vi ønsker å finne strømmen, hva blir likningen for strømmen i dette systemet?

Answer.

$$\frac{\d^2 I}{\d t^2} = - \frac{1}{LC}I$$ hvor $ I = \d Q/\d t $.

c) Hva slags initialbetingelser trenger vi for dette systemet?

Answer.

Vi må ha to initialbetingelser. For strømmen betyr det $ I(t_0) $ og $ \d I/\d t \, (t_0) $.

d) Anta at vi vet at ved tiden $ t=0 $ er $ Q=Q_0 $ på kondensatoren og at vi skrur på en bryter som forbinder den med spolen ved $ t=0 $. Hva er da initialbetingelsene?

Answer.

$ I(0) = 0 $ og $ I'(0) = -Q_0/(LC) $

e) Virker dette fortegnet på $ I'(0) $ fornuftig?

Hint.

Sjekk om det virker rimelig ved å se på endringen i ladning etter et lite tidsintervall $ \Delta t $.

Answer.

Etter $ \Delta t $ vil det ha strømmet noe ladning ut fra den positive siden av kondensatoren. Det svarer til en negativ strøm med valgt strømretning ($ \d Q/\d t = I $). Vi ser derfor at $ I'(0) $ må være negativ. Det stemmer med resulatet i forrige oppgave.

f) Finn strømmen som funksjon av tiden for dette systemet.

Answer.

$$I(t) = -Q_0 \omega \sin \omega t \quad , \quad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Solution.

Vi ser at løsningen må ha formen $ I(t) = A \sin \omega t $. Likningen gir at $$I''(t) = - A \omega^2 \sin \omega t = -I/(LC) = -\frac{1}{LC}A \sin \omega t $$ og dermed er $$\omega^2 = 1/(LC) \quad \Rightarrow \quad \omega = 1/\sqrt{LC}$$ Dessuten er $$I'(0) = A \omega \cos \omega 0 = A \omega = -\frac{Q_0}{LC} = -Q_0 \omega^2$$ Da er $ A = -Q_0 \omega $