Amperes lov

0

Fluksen er gitt som \( \Phi = \int_S \vec{B} \cdot \d \vec{S} \). Kun den øvre og den nedre flaten vil bidra, fordi feltet er parallelt med de andre overflatene. Det ser ut som om det kommer omtrent like mye fluks inn av den nederst som det går ut av den øverste. Det ser derfor ut som om netto fluks er null.

\( \Phi_B > 0 \)

Fluksen er gitt som \( \Phi = \int_S \vec{B} \cdot \d \vec{S} \). Kun den øvre og den nedre flaten vil bidra, fordi feltet er parallelt med de andre overflatene. Fluksen \( \Phi_1 = B_1 S_1 \) ut av den øvre flaten vil være positiv fordi feltet og overflatenormalen peker i samme retning. Fluksen \( \Phi_2 = B_2 S_2 \) ut av den nedre flaten vil være negativ, fordi overflatenormalen peker nedover, mens feltet peker oppover. Den øvre og den nedre overflatene er like store, mens feltet er større ved den øvre enn ved den nedre. Derfor er \( |\Phi_2 | < |\Phi_1| \) og fluksen ut av flaten \( S \) vil være positiv.

\( \Phi_B > 0 \)

Fluksen er gitt som \( \Phi = \int_S \vec{B} \cdot \d \vec{S} \). La oss anta at feltet \( \vec{B} \) er sylindrisk symmetrisk og peker rett utover i radiell retning. Overflaten er en sylinderoverflate. Da vil fluksen gjennom sylinderflaten være \( \Phi = \int_S \vec{B} \cdot \d \vec{S} = 2 \pi r L B_r > 0 \), hvor vi har antatt at \( \vec{B} = B_r(r) \rhat \).

\( \Phi_B = 0 \)

Her ser det ut som om feltet har sylindersymmetri og har formen \( \vec{B} = B_{\Phi}(r) \phihat \). Det vil kun være de to delene av overflatene som er parallelle med radius fra sylinderaksen som vil bidra til fluksen, da de øvrige overflatene vil være parallelle med feltet. For et sylindersymmetrisk felt vil fluksen inn gjennom en overflate \( S_1 \) og ut gjennom en overflate \( S_2 \) være like store og med motsatt fortegn, slik at netto fluks blir 0.

Netto fluks ut av enhver overflate må være null, så det er kun tilfelle (a) og (d) som representerer fysisk mulige magnetfelt.

Ja

Vi finner divergensen til \( \vec{B} \): $$ \begin{equation} \nabla \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} = 1 - 1 = 0 \tag{1} \end{equation} $$ Siden divergensen er null er det et mulig magnetfelt.

Nei

Divergensen til \( \vec{B} \) er: $$ \begin{equation} \nabla \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = B_0/a \tag{2} \end{equation} $$ Siden divergensen ikke er null med mindre \( B_0 = 0 \) er det ikke er fysisk mulig magnetfelt.

D

Amperes lov på differensial form sier at \( \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} \). Hva er \( \nabla \times \vec{B} \) i dette tilfellet?

Hmmm. Vi kan bruke en definisjon av curl til å estimere curl i dette tilfellet. Komponenten av curl i \( x \)-retningen er gitt som $$ \begin{equation} \left( \nabla \times \vec{B} \right)_x = \lim_{\Delta S \rightarrow 0}\frac{\oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{l}}{\Delta S} \tag{3} \end{equation} $$ hvor \( \Delta S \) har overflatenormal i \( x \)-retningen. Hvis vi velger en liten, kvadratisk krets i positiv retning som i figuren:

ser vi at linjeintegralet langs \( C_1 \) og \( C_3 \) blir null. Linjeintegralet langs \( C_2 \) blir større enn langs \( C_4 \). Linjeintegralet langs \( C_2 \) blir positivt og langs \( C_4 \) blir negativt. Netto blir integralet positivt. Denne overflaten har flatenormal ut av planet til figuren. Det betyr at det vil være en strømtetthet som er peker opp av planet.

Du kan også regne ut curl ved å anta at feltet f.eks. har formen \( \vec{B} = -B_0 y/a \x \) og finne \( \nabla \times \vec{B} = B_0/a \z \).

Nei

Divergensen til \( \vec{B} \) er: $$ \begin{equation} \nabla \cdot \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = B_0/a \tag{4} \end{equation} $$ Siden divergensen ikke er null med mindre \( B_0 = 0 \) er det ikke er fysisk mulig magnetfelt.

\( -\mu_0 I \)

Vi løser dette ved å anvende Amperes lov $$ \begin{equation} \oint_C \vec{B}\cdot \d \vec{l} = \mu_0 I_S \; , \tag{5} \end{equation} $$ hvor \( I_S \) er strømmen gjennom en overflate \( S \) som utspennes av sløyfen \( C \). Overflatenormalen til \( S_1 \) som utspennes av \( C_1 \) peker opp fra planet, mens strømmen peker inn i planet, slik at \( I_S = -I \) og integralet blir \( -\mu_0 I \).

\( \mu_0 (I_1 + I_2 ) \)

Vi løser dette ved å anvende Amperes lov $$ \begin{equation} \oint_C \vec{B}\cdot \d \vec{l} = \mu_0 I_S \; , \tag{6} \end{equation} $$ hvor \( I_S \) er strømmen gjennom en overflate \( S \) som utspennes av sløyfen \( C \). Vi ser at strømmen \( I_2 \) går samme vei som overflatenormalen til \( S \), og det gjør også \( I_1 \). Merk at vinkelen \( \theta \) her ikke har noen betydning. (Hvis vi i stedet hadde hatt oppgitt \( \vec{J} \) måtte vi tatt hensyn til \( \vec{J} \cdot \d \vec{S} \).). Vi finner derfor at netto strøm gjennom overflaten \( S \) er \( I_1 + I_2 \) og dermed er $$ \begin{equation} \oint_C \vec{B}\cdot \d \vec{l} = \mu_0 (I_1 + I_2)\; , \tag{7} \end{equation} $$

Kun \( r \)

• Vi vet at systemet er uendelig langt i \( z \)-retningen. Vi forventer derfor at systemet ser likt ut ved alle \( z \). Derfor forventer vi ikke at \( \vec{B} \) avhenger av \( z \). (Merk at dette ikke er det samme som å si at \( \vec{B} \) ikke har en \( z \)-komponent!)
• Vi vet at systemet er rotasjonssymmetrisk om \( z \)-aksen. Vi forventer derfor at \( \vec{B} \) ikke vil kunne avhenge av \( \phi \).
• Feltet kan avhenge av \( r \).

Vi har altså funnet ut at \( \vec{B} = \vec{B}(r) = B_r(r)\rhat + B_{\phi}(r) \phihat + B_z(r) \z \). Vi må bruke andre argumenter for å finne ut hvilke av komponentene \( B_r \), \( B_{\phi} \), eller \( B_z \), som eventuelt må være null.

Nei

Vi kan bruke Gauss lov for magnetfelt for å finne \( B_r(r) \). Vi lager en Gauss-flaten i form av en sylinder. Fluksen inn og ut av endeflatene vil være like store men ha motsatt fortegn fordi \( B_z \) kun avhenger av \( r \) og ikke av \( z \). Fluksen ut av en sylinderflate med radius \( r \) og lengde \( L \) vil være $$ \begin{equation} \int_S \vec{B} \cdot \d \vec{S} = 2 \pi r L B_r = 0 \tag{8} \end{equation} $$ Derfor er \( B_r = 0 \) overalt.

Nei

Vi kan finne feltet i azimuthal retning ved å anvende Amperes lov på en sirkel med radius \( r \) rundt sylinderen. Det vil ikke gå noen strøm gjennom denne sirkelen og \( B_{\phi} \) vil være konstant på sirkelen siden \( r \) er konstant på sirkelen. Amperes lov gir dermed $$ \begin{equation} \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 2 \pi r B_{\phi} = 0 \tag{9} \end{equation} $$ Dermed er \( B_{\phi} = 0 \) for alle \( r \). Merk at du her også kunne argumentert med Biot-Savarts lov, men du må da være nøye med symmetri-argumentene dine.

\( B_z \) er konstant utenfor sylinderen.

Amperes lov sier at $$ \begin{equation} \oint_{C_1}\vec{B} \cdot \d \vec{l} = \mu_0 I_1 . \tag{10} \end{equation} $$ Det går ingen strøm gjennom \( C_1 \) slik at integralet må være null. Vi deler kretsen \( C_1 \) opp i lengdene \( l_1 \) til \( l_4 \) som vist i figuren. Siden \( B_r = 0 \) vil integralene langs \( l_2 \) og \( l_4 \) være null. Vi setter at \( l_1 \) er ved \( r = r_1 \) og \( l_3 \) er ved \( r = r_3 \). Da får vi at $$ \begin{equation} \oint_{C_1}\vec{B} \cdot \d \vec{l} = -B_z(r_1)l_1 - B_r l_2 + B_z(r_3)l_3 + B_r l_4 = 0 \; . \tag{11} \end{equation} $$ Vi setter inn at \( B_r = 0 \) og får at \( B_z(r_1)l_1 = B_z(r_3)l_3 \) hvor \( l_1 = l_3 \) slik at \( B_z(r_1) = B_z(r_3) \). Det betyr at \( B_z \) er konstant.

\( B_z = 0 \)

Som vi så av forrige oppgave, vet vi at \( B_z \) er konstant. Siden den går mot null langt unna, må den være null utenfor sylinderen. Amperes lov anvendt på denne kretsen forteller oss kun dette. Men vi vet fra før at det to andre komponentene \( B_r \) og \( B_{\phi} \) må være null. Dermed vet vi at \( \vec{B} = B_z \z = 0 \) utenfor sylinderen.

\( B_z \) er konstant innen i sylinderen.

Vi kan her anvende samme argument som for krets \( C_1 \) siden det ikke går noen strøm gjennom \( C_2 \) og symmetriargumentene er de samme. Vi ser derfor at \( B_z \) er konstant inne i sylinderen.

\( B_z = \mu_0 J_s \)

Vi kan nå anvende Amperes lov på kretsen \( C_3 \): $$ \begin{equation} \oint_{C_3} \vec{B} \cdot \d \vec{l} = \mu_0 I = \mu_0 J_s l_5 \; , \tag{12} \end{equation} $$ hvor strømmen \( I \) gjennom kretsen er \( J_s l_5 \). Det vil kun være \( l_5 \) som bidrar til linje-integralet. Langs \( L_6 \) og \( l_8 \) er \( B_r = 0 \) og langs \( l_7 \), som er utenfor sylinderen, er \( \vec{B} = 0 \). Vi finner derfor at \( B_z(r_5)l_5 = \mu_0 J_s l_5 \) og derfor at \( B_z = \mu_0 J_s \) inne i sylinderen.

(A)

Vi antar at vi har sylindrisk symmetri med \( z \)-aksen langs sylinderaksen. Det magnetiske feltet vil da ikke ha noen \( B_r \) komponent, fordi hvis \( B_r \) er forskjellig fra null vil divergensen av \( B_r \) gjennom en sylindrisk overflate være forskellig fra null, og det kan den ikke være. Det magnetiske feltet vil heller ikke ha noen \( B_z \) komponent. Det kan vi se fra Biot-Savarts lov, hvor det magnetiske feltet vil være normalt til strømelementene og alle strømelementene vil være parallelle med \( z \)-aksen. Vi vil derfor kun ha en \( \phi \)-komponent av \( B \)-feltet, og denne kan kun avhenge av \( r \). Den kan ikke avhenge av \( \phi \) fordi vi har rotasjonssymmetri om \( z \)-aksen og den kan ikke avhenge av \( z \) fordi vi antar at sylinderen er lang i \( z \)-retningen.

Vi kan da anvende Amperes lov på en sirkel \( C \) med radius \( r \) om sylinder-aksen. Vi finner da at: $$ \begin{equation} \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 2 \pi r B_{\phi}(r) = \mu_0 I \; \Rightarrow \; B_{\phi} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \tag{13} \end{equation} $$ Strømmen \( I \) er den samme gjennom begge sylindrene, så derfor er \( B_1 = B_2 \).

\( B_1 < B_2 \)

I dette tilfellet vil strømmen være avhengig av hvor mye strøm som går gjennom et tverrsnitt med radius \( s \). Vi antar at \( J = I/A \) er uniformt fordelt på tverrsnittet til lederen. Da blir strømmen gjennom tverrsnitt 1 lik \( I_1 = J_1 \pi r^2 = I \pi r^2/A_1 \), mens strømmen gjennom tverrsnitt 2 blir \( I_2 = J_2 \pi r^2 = I \pi r^2/A_2 \). Amperes lov gir oss at $$ \begin{equation} \oint_{C_i} \vec{B}_i \cdot \d \vec{l} = 2 \pi r B_{i,\phi} = \mu_0 I_i \tag{14} \end{equation} $$ hvor \( I_i \) er strømmen i de to tverrsnittene \( i = 1,2 \). Vi ser derfor at $$ \begin{equation} B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 \pi r^2 I}{2 \pi r A_1} = \frac{\mu_0 r I }{2 A_1} \tag{15} \end{equation} $$ og tilsvarende $$ \begin{equation} B_2 =\frac{\mu_0 r I }{2 A_2} \tag{16} \end{equation} $$ Fordi \( A_2 < A_1 \) blir derfor \( B_2 > B_1 \).

\( B_1 < B_2 \)

Magnetfeltet \( B_2 \) blir her det samme som i første oppgave ovenfor: $$ \begin{equation} B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \tag{17} \end{equation} $$ mens magnetfeltet \( B_1 \) blir det samme som i andre oppgave ovenfor: $$ \begin{equation} B_1 = \frac{\mu_0 r I }{2 A_1} = \frac{mu_0 I}{2 \pi r} \frac{\pi r^2}{A_1} \tag{18} \end{equation} $$ Her er \( \pi r^2 < A_1 \) slik at \( B_1 < B_2 \).