Magnetiske materialer

Forelesning.

Metode: Magnetisering

(Lærebok 12.1.1)

Oppgave.

Oppgave: Kraftmoment

Figuren viser en krets med en strøm I i et konstant, homogent magnetfelt B=Bzˆz som vist i figuren.





a) Hvilken retning har kraftmomentet på kretsen?

Answer.

i x-retningen.

Solution.

Kretsen har et magnetisk moment m=IS hvor S=Sˆn og ˆn peker i retning av den positive flatenormalen. Flatenormalen ˆn peker i dette tilfellet omtrent i retningen ˆn=(ˆy+ˆz)/2. Kraftmomentet er τ=m×B. Vi finner retningen ved høyrehåndsregelen, hvor ˆn×B vil peke ut av planet, dvs i x-retningen. Kraftmomentet vil derfor virke slik at ˆn blir opplinjert med B.

Oppgave.

Oppgave: Magnetisering

Figuren viser 8 kretser (i sort) som ligger inne i et større systemet av små strømsløyfer. I hver krets går den en konstant strøm I.





a) Hva blir magnetiseringen M til dette systemet?

Answer.

M=I/dˆz

Solution.

Magnetiseringen er summen av de magnetiske momentene delt på volumet. Vi setter her volumet til V=(2L)2(2d), hvor vi tenker oss at volume som er assosiert med kretsene går halvveis til de neste kretsene rundt. (Men det kan også argumenteres for at volumet er (2L)2d). Hver enkelt krets har magnetisk moment m=IL2ˆz. Det totale magnetiske momentet er derfor mi=8m=8IL2ˆz,

og magnetiseringen er da M=1vimi=18L2d8IL2ˆz=I/dˆz
Merk igjen at volumet v ikke nødvendigvis er veldefinert. Siden de 8 ligger inne blant andre kretser, kan det være rimelig å si at volumet som tilhører kretsene strekker seg halvveis til de neste og derfor har en total høyde på 2d. Men det kunne også vært mulig å definere volumet slik at det har en høyde d. Etterhvert som det blir mange magnetiske moment inne i volumet, vil dette kun bli en diskretiseringsfeil.

Forelesning.

Metode: Omskriving av Amperes lov

(Lærebok 12.1.3)

Oppgave.

Oppgave: Magnetisering og strøm

Anta at magnetiseringen i et område er M=M0ˆz.

a) Hva er da den bundne strømmen gjennom en sirkel med radius a som ligger med sentrum i origo i xy-planet?

Answer.

0

Solution.

Vi finner den bundne strømmen fra IC,b=CMdl

Men fordi denne kretsen ligger i xy-planet og M peker i z-regningen vil Mdl=0 og dermed er IC,b=0.

Oppgave.

Oppgave: Linjeleder

Figuren viser en uendelig lang tynn, rett leder med radius a som fører en strøm I inne i en magnetiserbar sylinder med radius b og permeabilitet μ. Utenfor er det vakum.





a) Hvordan er H relatert til B inne i sylinderen og utenfor sylinderen?

Solution.

Vi vet at B=μH inne i sylinderen og B=μ0H utenfor sylinderen.

b) Forklar hvorfor H=Hϕ(r)ˆϕ

Solution.

Vi ser fra forrige oppgave at H og B er proporsjonale med hverandre og derfor vil ha samme symmetrier. Vi kan derfor diskutere symmetrien til B og overføre denne til H. Det er lurt, fordi vi har en intuisjon for B, vi kan knytte magnetfeltet til Biot-Savarts lov og vi kan bruke at divergensen til B er null.

Vi bruker sylinderkoordinater fordi systemet har rotasjonsgeometri om z-aksen. Siden systemet er uendelig langt, vil systemet se likt ut i z-retningen fra alle z-posisjoner. Derfor kan ikke B (eller H) avhenge av z. Tilsvarende vil systemet være identisk hvis det roteres om z-aksen. Derfor kan ikke B (eller H) avhenge av ϕ. Vi har derfor at B=Br(r)ˆr+Bϕ(r)ˆϕ+Bz(r)ˆz.

Vi kan bruke Biot-savarts lov til å se at siden alle strømelementene peker i z-retningen, og B-feltet er normalt på strømelementene, kan ikke B han noen komponent i z-retningen.

Vi kan så bruke at divergensen til B-feltet er null til å argumentere for at Br=0. Dette har vi gjort flere ganger før, og vi ser det ved å velge en sylindrisk Gauss flate, hvor fluksen gjennom endeflatene er null og fluksen gjennom sylinderflaten må være null og derfor må Br være null.

Vi har derfor funnet ut at B=Bϕ(r)ˆϕ og derfor at H=Hϕ(r)ˆϕ. Argumentet her er veldig omstendelig. Etterhvert som du blir vant til å se symmetrier kan du skrive den rett ned uten store argumenter.

c) Hvordan vil du velge Ampere-løkker for å finne H-feltet inne i sylinderen og utenfor sylinderen.

Solution.

Vi vil velge løkker hvor Bdl er konstant langs hele løkken. Da må vi velge en løkke med samme symmetri som systemet, for eksempel en sirkel i xy-planet med sentrum i lederen.

d) Hva blir H-feltet? H=I2πrˆϕ

Solution.

Vi finner H-feltet fra Amperes lov: CHdl=CHϕˆϕrdϕˆϕ=2πrHϕ=I

som gir at Hϕ=I/(2πr). Dette uttrykket er det samme både for r<b og for r>b.

e) Hva blir B-feltet?

Answer.

B=Iμ2πr når r<b, B=Iμ02πr når r>b.

Solution.

Vi finner da B=μH, slik at B=μI2πr når r<b og B=μ0I2πr når r>b.

Oppgave.

Oppgave: Magnetisk materiale

Det er et magnetfelt B0=B0(I)ˆz inne i en sylindrisk solenoide med en strøm I når det er vakuum inne i solenoiden. Så fyller vi det sylindriske indre i solenoiden med et lineært, magnetiserbart materiale med permeabilitet μ.

a) Hva er H0 i området før det magnetiserbare materialet plasseres inn?

Solution.

Vi finner at H0=B0/μ0=B0/μ0ˆz.

b) Hva er H i området etter at det magnetiserbare materialet plasseres inn?

Solution.

Vi vet at H bestemmes av de frie strømmene, dvs strømmen I, som ikke endres når det magnetiserbare materialet plasseres inn. Derfor er H=H0.

c) Hva er blir magnetiseringen M inne i solenoiden.

Solution.

Magnetiseringen er proporsjonal med H inne i solenoiden, slik at M=χmH=χmB0/μ0ˆz.

d) Hva blir det magnetiske feltet B inne i solenoiden?

Solution.

Vi kan finne det magnetiske feltet på to vis: (1) Det magnetiske feltet er gitt som B=μH=μ0(1+χm)H=μ0(1+χm)B0μ0ˆz=(1+χm)B0ˆz$.

eller (2) Det magnetiske feltet er gitt som B=μ0(H+M) som gir B=μ0(B0μ0ˆz+χmB0μ0ˆz)=B0(1+χm)ˆz.

Eksempel.

Eksempel: Koaksial leder

(Lærebok 12.1.8)

Forelesning.

Metode: Bunden overflatestrøm

(Lærebok 12.1.9)

Oppgave.

Oppgave: Hvor er de bundne strømmene?

a) En sylinder laget av et magnetiserbart materiale har en uniform magnetisering M i z-retningen som vist i figuren.





Hvor i/på sylinderen er de bundne strømmene? Hvor store er i så fall strømtettheten og hvilken retning har den?

Answer.

D

Solution.

Den bundne volumstrømtettheten er Jb=×M. Fordi M=M0ˆz er uniform vil curl være null. Det er derfor ingen bunden volumstrømtetthet.

Den bundne overflatestrømtettheten er Jb,s=M׈n. For topp- og bunn-flaten er ˆn parallel med M. Det er derfor ikke noen bunden strømtetthet her. På sylindersiden er ˆn=ˆr slik at Jb,s=M0ˆz׈r=M0ˆϕ. Riktig svar er derfor (D).

b) En sylinder laget av et magnetiserbart materiale har en uniform magnetisering M i x-retningen som vist i figuren.





Hvor i/på sylinderen er de bundne strømmene? Finn strømtettheten der hvor den er forskjellige fra null.

Answer.

D

Solution.

Den bundne volumstrømtettheten er Jb=×M. Fordi M=M0ˆx er uniform vil curl være null. Det er derfor ingen bunden volumstrømtetthet.

Den bundne overflatestrømtettheten er Jb,s=M׈n.

For topp- og bunn-flaten er ˆn=±ˆz slik at Jb,s=M0ˆx×±ˆz=M0±ˆy.

For den runde sylindersiden er ˆn=ˆr=ˆxcosϕ+ˆysinϕ slik at Jb,s=M0ˆx׈r=M0ˆx×(ˆxcosϕ+ˆysinϕ)=M0sinϕˆz. Denne er forskjellig fra null bortsett fra når ϕ=0 og π.

Riktig svar er derfor (D).

c) En sylinder laget av et magnetiserbart materiale har en uniform magnetisering M i ϕ-retningen som vist i figuren.





I hvilken retning går overflatestrømmen på den runde sylinder-siden?

Answer.

C

Solution.

Her er vi ikke spurt om strømtettheten i volumet. Den vil ikke være null, men ha en z-komponent. Du kan sjekke dette ved å se på curl i sylinder-koordinater.

Overflatestrømtettheten er gitt som Jb,s=M׈n. På den runde sylinder-siden er ˆn=ˆr og derfor er Jb,s=M0ˆϕ׈r=M0ˆz.

Riktig svar er derfor (C).

Forelesning.

Metode: Grensebetingelser for magnetfelt

(Lærebok 12.2)

Oppgave.

Oppgave: Grensebetingelser

Figuren viser et paramagnetisk materiale (χm>0) med et uniform magnetisk felt B0. Det er derfor også et uniform H-felt: H0=B0/μ. Vi kutter ut et tynt og langt sylindrisk hull.





a) Hva er M i midten av dette hullet?

Hint.

Hvor kan man ha magnetisering?

Answer.

0

Solution.

Det er ikke noe magnetisk materiale i hullet, det er derfor ikke noen magnetisering her.

b) Hva er B=|B| i midten av hullet?

Hint.

Hva er H inne i hullet sammenliknet med i det magnetiske materialet?

Answer.

C

Solution.

Vi ser at H feltet kun har en tangentiell komponent nær den runde siden til hullet. Fra grensebetingelsene for H-feltet vet vi at H1,tH2,t=Js. Hvor Js er den frie overflatestrømtettheten. Men det er ingen frie strømmer på grenseflaten mellom det magnetiske materialet og hullet. Derfor er tangential-komponenten av H den samme umiddelbart innenfor hullet og umiddelbart inne i det magnetiske materialet. Vi antar at sylinderen er smal, slik at H i midten av hullet er omtrent den samme som ved overflaten. Det betyr at H inne i hullet er den samme som inne i det magnetiske materialet.

Inne i hullet er da B=μ0H=μ0B0/μ=(μ0/μ)B0. Magnetfeltet er derfor mindre inne i hullet enn inne i det magnetiske materialet fordi μ>μ0 for et paramagnetisk materiale. (Dette ville vært annerledes for et diamagnetisk materiale). Det virker rimelig, siden det magnetiske materialet er paramagnetisk med χm>0, noe som forsterker magnetfeltet.

Figuren viser et paramagnetisk materiale (χm>0) med et uniform magnetisk felt B0. Det er derfor også et uniform H-felt: H0=B0/μ. Vi kutter ut et bredt og tynt sylindrisk hull.





c) Hva er B i midten av dette hullet?

Hint.

Hvilken grensebetingelse bør du her bruke?

Answer.

B=B0

Solution.

Magnetfeltet midt inne i hullet vil være omtrent det samme som langs de flate sidene av sylinderen, siden sylinderen er tynn og det er svært kort avstand fra midten til topp og bunn-flaten.

Umiddelbart utenfor sylinderen er magnetfeltet normalt på topp- og bunn-flaten. Grensebetingelsen for feltet normalt på en grenseflate er at B1,n=B2,n, slik at magnetfeltet er likt på innsiden og utsiden av flaten. Magnetfeltet er derfor det samme midt inne i hullet som utenfor. (Merk at det kan være litt forskjellig når sidene i sylinderen, men disse er langt unna midten av hullet).