Magnetiske materialer

i $x$-retningen.

Kretsen har et magnetisk moment $\vec{m} = I \vec{S}$ hvor $\vec{S} = S \nhat$ og $\nhat$ peker i retning av den positive flatenormalen. Flatenormalen $\nhat$ peker i dette tilfellet omtrent i retningen $\nhat = (\y + \z)/\sqrt{2}$. Kraftmomentet er $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$. Vi finner retningen ved høyrehåndsregelen, hvor $\nhat \times \vec{B}$ vil peke ut av planet, dvs i $x$-retningen. Kraftmomentet vil derfor virke slik at $\nhat$ blir opplinjert med $\vec{B}$.

$\vec{M} = I/d \z$

Magnetiseringen er summen av de magnetiske momentene delt på volumet. Vi setter her volumet til $V = (2L)^2 (2d)$, hvor vi tenker oss at volume som er assosiert med kretsene går halvveis til de neste kretsene rundt. (Men det kan også argumenteres for at volumet er $(2L)^2 d$). Hver enkelt krets har magnetisk moment $\vec{m} = I L^2 \z$. Det totale magnetiske momentet er derfor

$$\begin{equation} \sum \vec{m}_i = 8 \vec{m} = 8 I L^2 \z \; , \tag{19} \end{equation}$$ og magnetiseringen er da $$\begin{equation} \vec{M} = \frac{1}{v}\sum_i \vec{m}_i = \frac{1}{8L^2d}8 I L^2 \z = I/d \z \tag{20} \end{equation}$$ Merk igjen at volumet $v$ ikke nødvendigvis er veldefinert. Siden de 8 ligger inne blant andre kretser, kan det være rimelig å si at volumet som tilhører kretsene strekker seg halvveis til de neste og derfor har en total høyde på $2d$. Men det kunne også vært mulig å definere volumet slik at det har en høyde $d$. Etterhvert som det blir mange magnetiske moment inne i volumet, vil dette kun bli en diskretiseringsfeil.

0

Vi finner den bundne strømmen fra

$$\begin{equation} I_{C,b} = \int_C \vec{M} \cdot \d \vec{l} \tag{21} \end{equation}$$ Men fordi denne kretsen ligger i $xy$-planet og $\vec{M}$ peker i $z$-regningen vil $\vec{M}\cdot \d \vec{l} = 0$ og dermed er $I_{C,b} = 0$.

Vi vet at $\vec{B} = \mu\vec{H}$ inne i sylinderen og $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ utenfor sylinderen.

Vi ser fra forrige oppgave at $\vec{H}$ og $\vec{B}$ er proporsjonale med hverandre og derfor vil ha samme symmetrier. Vi kan derfor diskutere symmetrien til $\vec{B}$ og overføre denne til $\vec{H}$. Det er lurt, fordi vi har en intuisjon for $\vec{B}$, vi kan knytte magnetfeltet til Biot-Savarts lov og vi kan bruke at divergensen til $\vec{B}$ er null.

Vi bruker sylinderkoordinater fordi systemet har rotasjonsgeometri om $z$-aksen. Siden systemet er uendelig langt, vil systemet se likt ut i $z$-retningen fra alle $z$-posisjoner. Derfor kan ikke $\vec{B}$ (eller $\vec{H}$) avhenge av $z$. Tilsvarende vil systemet være identisk hvis det roteres om $z$-aksen. Derfor kan ikke $\vec{B}$ (eller $\vec{H}$) avhenge av $\phi$. Vi har derfor at

$$\begin{equation} \vec{B} = B_r(r) \rhat + B_{\phi}(r) \phihat + B_z(r) \z \; . \tag{22} \end{equation}$$ Vi kan bruke Biot-savarts lov til å se at siden alle strømelementene peker i $z$-retningen, og $\vec{B}$-feltet er normalt på strømelementene, kan ikke $\vec{B}$ han noen komponent i $z$-retningen.

Vi kan så bruke at divergensen til $\vec{B}$-feltet er null til å argumentere for at $B_r = 0$. Dette har vi gjort flere ganger før, og vi ser det ved å velge en sylindrisk Gauss flate, hvor fluksen gjennom endeflatene er null og fluksen gjennom sylinderflaten må være null og derfor må $B_r$ være null.

Vi har derfor funnet ut at $\vec{B} = B_{\phi}(r) \phihat$ og derfor at $\vec{H} = H_{\phi}(r) \phihat$. Argumentet her er veldig omstendelig. Etterhvert som du blir vant til å se symmetrier kan du skrive den rett ned uten store argumenter.

Vi vil velge løkker hvor $\vec{B} \cdot \d \vec{l}$ er konstant langs hele løkken. Da må vi velge en løkke med samme symmetri som systemet, for eksempel en sirkel i $xy$-planet med sentrum i lederen.

Vi finner $\vec{H}$-feltet fra Amperes lov:

$$\begin{equation} \oint_C \vec{H} \cdot \d \vec{l} = \oint_C H_{\phi} \phihat \cdot r \d \phi \phihat = 2 \pi r H_{\phi} = I \tag{23} \end{equation}$$ som gir at $H_{\phi} = I/(2 \pi r)$. Dette uttrykket er det samme både for $r < b$ og for $r > b$.

$\vec{B} = \frac{I \mu}{2 \pi r}$ når $r < b$, $\vec{B} = \frac{I \mu_0}{2 \pi r}$ når $r > b$.

Vi finner da $\vec{B} = \mu\vec{H}$, slik at $\vec{B} = \mu\frac{I}{2 \pi r}$ når $r < b$ og $\vec{B} = \mu_0\frac{I}{2 \pi r}$ når $r > b$.

Vi finner at $\vec{H}_0 = \vec{B}_0/\mu_0 = B_0/\mu_0 \z$.

Vi vet at $\vec{H}$ bestemmes av de frie strømmene, dvs strømmen $I$, som ikke endres når det magnetiserbare materialet plasseres inn. Derfor er $\vec{H} = \vec{H}_0$.

Magnetiseringen er proporsjonal med $\vec{H}$ inne i solenoiden, slik at $\vec{M} = \chi_m \vec{H} = \chi_m B_0/\mu_0 \z$.

Vi kan finne det magnetiske feltet på to vis: (1) Det magnetiske feltet er gitt som

$$\begin{equation} \vec{B} = \mu \vec{H} = \mu_0 (1 + \chi_m) \vec{H} = \frac{\mu_0(1 + \chi_m) B_0}{\mu_0} \z = (1 + \chi_m) B_0 \z$ \; . \tag{24} \end{equation}$$ eller (2) Det magnetiske feltet er gitt som $\vec{B} = \mu_0 ( \vec{H} + \vec{M})$ som gir $$\begin{equation} \vec{B} = \mu_0 \left( \frac{B_0}{\mu_0}\z + \frac{\chi_m B_0}{\mu_0} \z \right) = B_0(1 + \chi_m) \z \; . \tag{25} \end{equation}$$

D

Den bundne volumstrømtettheten er $\vec{J}_b = \nabla \times \vec{M}$. Fordi $\vec{M} = M_0 \z$ er uniform vil curl være null. Det er derfor ingen bunden volumstrømtetthet.

Den bundne overflatestrømtettheten er $\vec{J}_{b,s} = \vec{M} \times \nhat$. For topp- og bunn-flaten er $\nhat$ parallel med $\vec{M}$. Det er derfor ikke noen bunden strømtetthet her. På sylindersiden er $\nhat = \rhat$ slik at $\vec{J}_{b,s} = M_0 \z \times \rhat = M_0 \phihat$. Riktig svar er derfor (D).

D

Den bundne volumstrømtettheten er $\vec{J}_b = \nabla \times \vec{M}$. Fordi $\vec{M} = M_0 \x$ er uniform vil curl være null. Det er derfor ingen bunden volumstrømtetthet.

Den bundne overflatestrømtettheten er $\vec{J}_{b,s} = \vec{M} \times \nhat$.

For topp- og bunn-flaten er $\nhat = \pm \z$ slik at $\vec{J}_{b,s} = M_0 \x \times \pm \z = - M_0 \pm \y$.

For den runde sylindersiden er $\nhat = \rhat = \x \cos \phi + \y \sin \phi$ slik at $\vec{J}_{b,s} = M_0 \x \times \rhat = M_0 \x \times (\x \cos \phi + \y \sin \phi) = M_0 \sin \phi \z$. Denne er forskjellig fra null bortsett fra når $\phi = 0$ og $\pi$.

Riktig svar er derfor (D).

C

Her er vi ikke spurt om strømtettheten i volumet. Den vil ikke være null, men ha en $z$-komponent. Du kan sjekke dette ved å se på curl i sylinder-koordinater.

Overflatestrømtettheten er gitt som $\vec{J}_{b,s} = \vec{M} \times \nhat$. På den runde sylinder-siden er $\nhat = \rhat$ og derfor er $\vec{J}_{b,s} = M_0 \phihat \times \rhat = -M_0 \z$.

Riktig svar er derfor (C).

Hvor kan man ha magnetisering?

0

Det er ikke noe magnetisk materiale i hullet, det er derfor ikke noen magnetisering her.

Hva er $\vec{H}$ inne i hullet sammenliknet med i det magnetiske materialet?

C

Vi ser at $\vec{H}$ feltet kun har en tangentiell komponent nær den runde siden til hullet. Fra grensebetingelsene for $\vec{H}$-feltet vet vi at $H_{1,t} - H_{2,t} = J_s$. Hvor $J_s$ er den frie overflatestrømtettheten. Men det er ingen frie strømmer på grenseflaten mellom det magnetiske materialet og hullet. Derfor er tangential-komponenten av $H$ den samme umiddelbart innenfor hullet og umiddelbart inne i det magnetiske materialet. Vi antar at sylinderen er smal, slik at $H$ i midten av hullet er omtrent den samme som ved overflaten. Det betyr at $\vec{H}$ inne i hullet er den samme som inne i det magnetiske materialet.

Inne i hullet er da $\vec{B} = \vec{\mu_0} \vec{H} = \vec{\mu_0} \vec{B_0}/\mu = (\mu_0/\mu) \vec{B}_0$. Magnetfeltet er derfor mindre inne i hullet enn inne i det magnetiske materialet fordi $\mu > \mu_0$ for et paramagnetisk materiale. (Dette ville vært annerledes for et diamagnetisk materiale). Det virker rimelig, siden det magnetiske materialet er paramagnetisk med $\chi_m > 0$, noe som forsterker magnetfeltet.

Hvilken grensebetingelse bør du her bruke?

$\vec{B} = \vec{B}_0$

Magnetfeltet midt inne i hullet vil være omtrent det samme som langs de flate sidene av sylinderen, siden sylinderen er tynn og det er svært kort avstand fra midten til topp og bunn-flaten.

Umiddelbart utenfor sylinderen er magnetfeltet normalt på topp- og bunn-flaten. Grensebetingelsen for feltet normalt på en grenseflate er at $B_{1,n} = B_{2,n}$, slik at magnetfeltet er likt på innsiden og utsiden av flaten. Magnetfeltet er derfor det samme midt inne i hullet som utenfor. (Merk at det kan være litt forskjellig når sidene i sylinderen, men disse er langt unna midten av hullet).