Oppgave: Potensialet fra en kvadrupol

I elektrostatikken spiller dipolen omtrent samme rolle som den harmoniske oscillatoren gjør i mekanikk og kvantemekanikk. Stort sett har legemer ikke noen netto ladning, men ladningene i legemet kan være fordelt på forskjellig vis inne i legemet. Dette gjelder helt fra et enkelt atom eller et molekyl til makroskopiske legemer som en brusboks, en ballong, en sky eller en stjerne. Den groveste måten å beskrive en slik ladningsfordeling på er som en dipol --- og det har vi sett på i læreboken. Men hva skjer hvis vi setter sammen to dipoler? Da får vi en kvadrupol. Her skal vi se på det elektriske potensialet og feltet rundt en kvadrupol.

Vi ser på en kvadrupol som består av fire ladninger: \( +Q \) i punktene i \( (a,a) \) og \( (-a,-a) \) og \( -Q \) i punktene \( (-a,a) \) og \( (a,-a) \).

a) Lag en skisse av systemet.

b) Hvor tror du det elektriske potensialet er null i dette systemet? Og hvor er det elektriske feltet null?

Answer.

c) Skisser det elektriske potensialet langs \( x \)-aksen.

Answer.

Installasjon og oppstart av en Jupyter notebook

Visualisering av det elektriske potensialet

import numpy as np
def epotlist(r,Q,R):
    # Find V*4*pi*epsilon0 at r from a charges Q at positions R
    V=0
    for i in range(len(R)):
        Ri = r - R[i]
        qi = Q[i]
        Rinorm = np.linalg.norm(Ri)
        V = V + qi/Rinorm
    return V

Vi kan regne ut det elektriske potensialet i et område i rommet:

def findpotential(R,Q,x0,x1,y0,y1,Nx,Ny):
    x = np.linspace(x0,x1,Nx)
    y = np.linspace(y0,y1,Ny)
    rx,ry = np.meshgrid(x,y)
    V = np.zeros((Nx,Ny),float)
    for i in range(len(rx.flat)):
        r = np.array([rx.flat[i],ry.flat[i]])
	V.flat[i] = epotlist(r,Q,R)
    return x,y,rx,ry,V

Og vi kan visualisere det elektriske potensialet fra en ladning i punktet \( (1,1) \) med:

Q = []
R = []
r0 = np.array([1,1])
q0 = 1
R.append(r0)
Q.append(q0)
x,y,rx,ry,V = findpotential(R,Q,-2,2,-2,2,20,20)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.contourf(rx,ry,V)
plt.axis('equal')

d) Visualiser potensialet fra de fire ladningene i kvadrupolen.

e) Finn og visualiser det elektriske feltet. (Du skal ikke regne ut det elektriske feltet fra ladningsfordelingen, men finne det elektriske feltet fra potensialet du har regnet ut).

Answer.

Ey,Ex = np.gradient(-V)
plt.contourf(rx,ry,V)
plt.quiver(rx,ry,Ex,Ey)
plt.axis('equal')

f) Plot det elektriske potensialet som funksjon av avstanden til origo langs en linje \( \ell \) som danner en vinkel \( \pi/4 \) med \( x \)-aksen.

Answer.

xp = np.linspace(-3,3,1000)
Vx = xp.copy()
for i in range(len(xp)):
    r = np.array([xp[i],xp[i]])
    Vx[i] = epotlist(r,Q,R)
plt.plot(xp*np.sqrt(2),Vx)
plt.xlabel('r')
plt.ylabel('V(x)')

Litt avansert

g) Plot det elektriske potensialet langs linjen \( \ell \) for \( r \gg a \). Plot det i et dobbel-logaritmisk plot. Hva forteller dette plottet deg om hvordan oppførselen til en kvadrupol er langt unna kvadrupolen?

Hint.

Svært avansert og utenfor pensum

h) Finn dipolmomenentet for kvadrupolen.

i) Hvordan kan vi i stedet karakterisere kvadrupolen? Slå opp multipole expansion og diskuter hvordan du ville karakterisere kvadrupolen og hvilken nytte du tror en slik multipol-ekspansjon kan ha.