Seminar uke 01: Elektrisk felt

Oppgave

Oppgave: Lang ledning

En tynn, lang ledning ligger langs $ x $-aksen og skjærer $ y $-aksen i en avstand $ a $ fra $ x $-aksen. En lengde $ L $ av ledningen har en ladning $ Q $. (Du kan anta at ledningen er uendelig lang og at den har en uniformt fordelt ladning).

a) Lag en tegning av systemet.

Answer.

Vi skal finne det elektriske feltet i et punkt $ \vec{r} = (x,0,0) $ langs $ x $-aksen.

b) Uten å regne ut noe, hvilken vei tror du det elektriske feltet vil peke i punktet $ (x,0,0) $?

Answer.

Normalt på ledningen og vekk fra ledningen, dvs. i negativ $ y $-retning.

c) Den venn Pia sier at hvis du ønsker å finne det elektriske feltet i en posisjon $ (x,0,0) $ så kan du like gjerne regne ut det elektriske feltet i punktet $ (0,0,0) $ fordi det blir det samme resultatet. Har Pia rett? Begrunn hvorfor eller hvorfor ikke Pia har rett.

Answer.

Hun har rett.

d) Tegn inn et lite linjelement $ \d l $ av ledningen i posisjonen $ (x',a,0) $. Hva er ladningen til dette linjeelementet?

Answer.

$ \d q = (Q/L) \d l $

e) Hva er $ \vec{R} $-vektoren du må bruke for å finne bidraget fra linjeelementet $ \d l $ til det elektriske feltet i punktet $ (0,0,0) $?

Answer.

$ \vec{R} = (-x',-a,0) $

f) Hva er bidraget $ \d \vec{E} $ til $ \vec{E} $-feltet fra dette linjeelementet?

Answer.

$$\d \vec{E} = \frac{(Q/L)\d x'}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(-x',-a,0)}{((x')^2 + a^2)^{3/2}} $$

g) Skriv opp integralet for å finne $ \vec{E} $-feltet --- skriv det helt ut på koordinat-form eller skriv et integral for $ x $- og et for $ y $-komponenten.

Hint.

Du skal kun skrive opp integralet. Du skal ikke regne det ut.

Answer.

$$E_x = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(Q/L)\d x'}{4 \pi \epsilon_0} \frac{-x' \x }{((x')^2 + a^2)^{3/2}}$$ $$ E_y = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(Q/L)\d x'}{4 \pi \epsilon_0} \frac{-a \y }{((x')^2 + a^2)^{3/2}} $$