Seminar uke 06: Strøm og motstand

Oppgave

Oppgave: Forskjellige hastigheter

Figuren viser en leder som består av $ N \times N $ kanaler som hver har en lengde $ L $ og et tverrsnitt $ a \times a $, hvor $ N = 10^6 $ og $ a = 1 \text{nm} $

a) Anta at du skyter et ion per sekund gjennom hver kanal. Ionet har hastigheten $ v $ langsmed kanalen og ladningen $ Q = +e $. Hva blir strømmen gjennom en enkelt kanal?

Answer.

$ I_1 = 1.602 \, 10^{-19} \text{A} $

Solution.

Strømmen er netto ladning per tidsenhet. Det er en ladning $ Q=e $ som beveger seg gjennom kanalen per sekund, slik at strømmen blir $ I = Q/\Delta t = 1.602 \, 10^{-19}\text{C}/\text{s} = 1.602 \, 10^{-19} \text{A} $.

b) Hva blir strømmen gjennom lederen?

Answer.

$ I = 1.602 10^{-7} \text{A} $.

Solution.

Hver kanal bidrar med det samme bidraget. Strømmen blir derfor summen av bidrag fra hver enkelt kanal. $ I = N^2 I_1 $.

c) Hva blir strømtettheten i lederen?

Answer.

$ J = 1.602 \, 10^{-1} \text{A/m}^2 $ langsmed lederen.

Solution.

Vi kan regne ut strømtettheten i en enkelt kanal eller i alle kanalene. For en enkelt kanal blir den $$J = \frac{I_1}{a^2} = \frac{1.602 \, 10^{-19} \text{A}}{(10^{-9} \text{m})^2} = 1.602 \, 10^{-1} \text{A/m}^2$$

Anta i stedet at du i steden hele tiden fyller på med ioner slik at du til enhver tid har $ M $ ioner inne i hver enkelt kanal og at de beveger seg med en hastighet $ v $ langsmed kanalen. (Vi regner nå med symboler og ikke med tall).

d) Hvor mange ioner befinner seg inne i en lengde $ b $ av kanalen?

Answer.

$ Mb/L $

Solution.

Det er $ M $ ioner inne i kanalen, som har lengden $ L $. Vi antar de er uniformt fordelt. Antallet inn i en lengde $ b $ er da $ M \, b/L $.

e) Hvor mange ioner beveger seg ut av kanalen i løpet av et tidsintervall $ \Delta t $?

Answer.

$ M v \Delta t/L $

Solution.

De ionene som er inne i en lengde $ v \Delta t $ beveger seg ut av kanalen i løpet av tiden $ \Delta t $. Det betyr at antall ioner som beveger seg ut er $ v \Delta t M/L $.

f) Hva blir strømmen gjennom en enkelt kanal?

Answer.

$ I_1 = MvQ/L = Mve/L $

Solution.

Strømmen er netto ladning per tidsenhet. Det er antall ioner ganger ladning per ion delt på tid. $$I_1 = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{M v \Delta t \, Q}{L \Delta t} = M v Q/L$$

g) Hva blir strømmen gjennom lederen?

Answer.

$ I = N^2 M v e/L $

Solution.

$ I = N^2 I_1 = N^2 M v e/L $

h) Hva blir strømtettheten i lederen?

Answer.

$ J = Mve/(a^2 L) $

Solution.

Strømtettheten er strøm per areal $$J = \frac{I}{A} = \frac{N^2 M v e}{N^2 a^2 L} = \frac{M v e}{a^2 L} \; .$$