Introduksjon til Ohms lov og motstand
Ohms lov på mikroskopisk form relaterer strømtettheten til det elektriske feltet:
$$\vec{J} = \sigma \vec{E} \; ,$$
hvor \( \sigma \) kalles den elektriske ledningsevnen til materialet.
Hvordan kan det ha seg at strømtettheten, som er relatert til (drift)hastigheten til ladningene er proporsjonal med det elektriske feltet og dermed også kraften på ladningene? Du kan bruke intuisjonen din fra mekanikk, hvor vi har samme effekten for terminalhastigheten i viskøse væsker, hvor hastigheten er proporsjonal med kraften.
Vi karakteriserer relasjonen mellom strømmen og spenningen over en komponent med motstanden, \( R = V/I \). Dette er en egenskap til komponenten og er avhengig av geometrien til komponenten og materialene den er laget av på samme vis som kapasitans er en geometrisk egenskap.
Vi kan finne motstanden, \( R \), til en komponent på to måter:
- Vi kan anta at det går en strøm \( I \) gjennom komponenten. Basert på symmetrien i problemet kan vi så finne strømtettheten \( \vec{J} \). (Vi antar vanligvis at strømtettheten er homogen, men dette er ikke alltid riktig). Så finner vi det elektriske feltet ved å bruke Ohms lov på mikroskopisk form baklengs: \( \vec{E} = (1/\sigma) \, \vec{J} \). Derfra finner vi potensialet \( V \) og potensialforskjellen, hvorfra vi finner \( R = V/I \).
- Vi kan anta at det er en potensialforskjell \( V \) mellom to ender av en komponent, hvor hver ende er koblet til en ideell ledere (og derfor har det samme potensialet overalt). Så kan vi løse Laplace likning, hvor vi også kan bruke at det elektriske feltet ikke kan peke ut av det ledende materialet. Derfra finner vi det elektriske feltet, og fra det elektriske feltet finner vi strømtettheten ved Ohms lov på mikroskopisk form. Fra strømtettheten kan vi finne strømmen, \( I \) og dermed bestemme \( R = V/I \).