Oppgave: Motstandsgymnastikk

En motstand som har et tverrsnittsareal \( A = a \times a \), en lengde \( L \) og er laget av et materiale med ledningsevne \( \sigma \) har motstanden \( R = L/(\sigma a^2) \).

a) Vi deler motstanden i to på midten slik at vi få to like lange deler med lengde \( L/2 \) som er koblet sammen på midten. Hva blir motstanden til det systemet av to motstander?

Answer.

b) Vi deler motstanden i små biter av lengden \( \d x \). Vis hvordan du kan finne det totale motstanden til en motstand av lengde \( L \) ved et integral.

Answer.

Denne metoden med å dele inn systemet i små deler som så kan summere opp motstanden til gjennom et integral kan anvendes flere steder. Anta at vi ser på en motstand som består av en sektor \( \theta \) av en sylinder med indre radius \( a \) og ytre radius \( b \) og høyde \( h \) hvor strømmen går fra den indre radiusen til den ytre radiusen.

c) Hva blir motstaden \( \d R \) til en tynn skive fra \( r \) til \( r + \d r \)?

Answer.

d) Hva blir motstanden \( R \) til hele systemet?

Answer.

Men denne metoden virker ikke alltid. Figuren under viser en motstand med tverrsnitt \( a \times a \) og lengde \( L \) som er kappet i mange små biter med lengde \( \d x \), men hvor hver bit er forskøvet litt langs \( y \)-aksen, slik at motstanden strekker seg fra \( y=0 \) til \( y=h \) og danner en vinkel \( \theta \) med \( x \)-aksen.

e) Hvorfor kan man ikke bruke samme metode her og summere opp alle bidragene og finne at motstanden er \( R = L/(\sigma a^2) \)?

f) Kan du finne et uttrykk for motstanden til dette systemet ved å anta at volumet er konstant når materialet har blitt strukket slik at motstanden strekker seg fra \( x=0 \) til \( x=L \) og \( y=0 \) til \( y=h \)?

Answer.

Merk at dette er grunnen til at vi ikke kan finne motstanden til en konisk motstand ved å kutte den i små sylindere og så summere bidragene fra alle sylindrene.