Processing math: 100%

 

 

 

Oppgave

Oppgave: Motstandsgymnastikk

En motstand som har et tverrsnittsareal A=a×a, en lengde L og er laget av et materiale med ledningsevne σ har motstanden R=L/(σa2).

a) Vi deler motstanden i to på midten slik at vi få to like lange deler med lengde L/2 som er koblet sammen på midten. Hva blir motstanden til det systemet av to motstander?

Answer.

R=L/(σa2).

b) Vi deler motstanden i små biter av lengden dx. Vis hvordan du kan finne det totale motstanden til en motstand av lengde L ved et integral.

Answer.

R=L0dx/(σa2)

Denne metoden med å dele inn systemet i små deler som så kan summere opp motstanden til gjennom et integral kan anvendes flere steder. Anta at vi ser på en motstand som består av en sektor θ av en sylinder med indre radius a og ytre radius b og høyde h hvor strømmen går fra den indre radiusen til den ytre radiusen.

c) Hva blir motstaden dR til en tynn skive fra r til r+dr?

Answer.

dR=dr/(σrθh).

d) Hva blir motstanden R til hele systemet?

Answer.

R=1σhθlnba

Men denne metoden virker ikke alltid. Figuren under viser en motstand med tverrsnitt a×a og lengde L som er kappet i mange små biter med lengde dx, men hvor hver bit er forskøvet litt langs y-aksen, slik at motstanden strekker seg fra y=0 til y=h og danner en vinkel θ med x-aksen.





e) Hvorfor kan man ikke bruke samme metode her og summere opp alle bidragene og finne at motstanden er R=L/(σa2)?

f) Kan du finne et uttrykk for motstanden til dette systemet ved å anta at volumet er konstant når materialet har blitt strukket slik at motstanden strekker seg fra x=0 til x=L og y=0 til y=h?

Answer.

R=L/(σa2cos2θ).

Merk at dette er grunnen til at vi ikke kan finne motstanden til en konisk motstand ved å kutte den i små sylindere og så summere bidragene fra alle sylindrene.