Seminar uke 06: Strøm og motstand

Oppgave

Oppgave: Kvadratisk tverrsnitt

En leder med kvadratisk tverrsnitt $ a^2 $ og lengde $ L $ er laget av et materiale med ledningsevne $ \sigma $. Vi skal nå finne et uttrykk for motstanden til denne komponenten på to måter. Vi legger $ x $-aksen langs lengden $ L $.

Vi antar uniform strømtetthet

Først, la oss anta at det går en strøm $ I $ i $ x $-retningen. Vi antar også at strømtettheten er uniform inne i motstanden og null utenfor motstanden.

a) Hva er strømtettheten inne i mostanden?

Answer.

$ J_x = I/A = I/a^2 $

b) Hva er det elektriske feltet inne i motstanden?

Answer.

$ E_x = J_x/\sigma = I/(a^2 \sigma) $

c) Hva er det elektriske potensialet inne i motstanden?

Answer.

$ V(x) = V_0 -x I/(a^2 \sigma) $

Solution.

$$V(x) - V(0) = \int_x^0 E_x \d x = -\frac{I}{a^2\sigma}x$$ Hvis vi setter $ V(0) = V_0 $ blir dette $ V(x) $.

d) Hva er spenningsforskjellen mellom endene av motstanden?

Answer.

$$\Delta V = I \frac{L}{a^2 \sigma}$$

Solution.

$$\Delta V = V(0) - V(L) = \frac{L I}{a^2 \sigma}$$

e) Hva blir da motstanden, $ R $, til denne komponenten?

Answer.

$$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{L}{a^2 \sigma}$$

Vi bruker Laplace likning

La oss i stedet anta at hver ende av motstanden er koblet til en ideell leder. Den ene lederen har potensialet $ V = V_0 $, mens lederen på den andre siden har potensialet $ V= V_1 $.

f) Løs Laplace likning for systemet og finn $ V(x) $.

Answer.

$$V(x) = V_0 + x\frac{V_1-V_0}{L}$$

Solution.

Det er ingen frie ladninger inne i motstanden. Laplace likning er derfor $$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 0$$ som har løsningen $ V(x) = A + B x $. Grensebetingelsene er at $ V(0) = A = V_0 $ og $ V(L) = V_1 $ som gir at $ V(L) = V_0 + B L = V_1 $ og dermed $ B = (V_1-V_0)/L $. Dermed er $ V(x) = V_0 + x(V_1-V_0)/L $.

g) Finn det elektriske feltet.

Answer.

$ E_x = -(V_1-V_0)/L $

Solution.

Det elektriske feltet er $ E_x = - \frac{\partial V}{\partial x} $ som gir $ E_x = -(V_1-V_0)/L $. Merk at $ V_1-V_0 $ vil være negativt, slik at det elektriske feltet er i positiv $ x $-retning.

h) Finn strømtettheten.

Answer.

$ J_x = \sigma (V_0- V_1)/L $

Solution.

$$J_x = \sigma E_x = - \sigma\frac{V_1-V_0}{L}$$

i) Finn strømmen $ I $

Answer.

$$I = \frac{\sigma a^2 (V_0 - V_1)}{L}$$

Solution.

Vi finner $ I $ fra $$I = \int_S \vec{J} \cdot \d \vec{S} = J_x a^2 = \sigma a^2 (V_0 - V_1)/L$$

Egenskaper til motstander og materialer

Vi har altså funnet at motstanden er $ R = L/(A\sigma) $. Merk at motstanden $ R $ er egenskapen til en dings - til en ting - mens ledningsevnen $ \sigma $ er en materialegenskap.

j) Hva skjer med motstanden $ R $ til denne gjenstanden hvis vi dobler alle lengder i systemet?

Answer.

Halveres

Solution.

Vi ser at siden $ R = L/(a^2 \sigma) $ vil motstanden bli mindre med en faktor 2 hvis vi dobler både $ L $ og $ a $.