$$ \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\nhat}{\mathbf{\hat{n}}} \newcommand{\x}{\mathbf{\hat{x}}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} $$

 

 

 

Oppgave

Oppgave: Kvadratisk tverrsnitt

En leder med kvadratisk tverrsnitt \( a^2 \) og lengde \( L \) er laget av et materiale med ledningsevne \( \sigma \). Vi skal nå finne et uttrykk for motstanden til denne komponenten på to måter. Vi legger \( x \)-aksen langs lengden \( L \).

Vi antar uniform strømtetthet

Først, la oss anta at det går en strøm \( I \) i \( x \)-retningen. Vi antar også at strømtettheten er uniform inne i motstanden og null utenfor motstanden.

a) Hva er strømtettheten inne i mostanden?

Answer.

\( J_x = I/A = I/a^2 \)

b) Hva er det elektriske feltet inne i motstanden?

Answer.

\( E_x = J_x/\sigma = I/(a^2 \sigma) \)

c) Hva er det elektriske potensialet inne i motstanden?

Answer.

\( V(x) = V_0 -x I/(a^2 \sigma) \)

d) Hva er spenningsforskjellen mellom endene av motstanden?

Answer.

$$\Delta V = I \frac{L}{a^2 \sigma}$$

e) Hva blir da motstanden, \( R \), til denne komponenten?

Answer.

$$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{L}{a^2 \sigma}$$

Vi bruker Laplace likning

La oss i stedet anta at hver ende av motstanden er koblet til en ideell leder. Den ene lederen har potensialet \( V = V_0 \), mens lederen på den andre siden har potensialet \( V= V_1 \).

f) Løs Laplace likning for systemet og finn \( V(x) \).

Answer.

$$V(x) = V_0 + x\frac{V_1-V_0}{L}$$

g) Finn det elektriske feltet.

Answer.

\( E_x = -(V_1-V_0)/L \)

h) Finn strømtettheten.

Answer.

\( J_x = \sigma (V_0- V_1)/L \)

i) Finn strømmen \( I \)

Answer.

$$I = \frac{\sigma a^2 (V_0 - V_1)}{L}$$

Egenskaper til motstander og materialer

Vi har altså funnet at motstanden er \( R = L/(A\sigma) \). Merk at motstanden \( R \) er egenskapen til en dings - til en ting - mens ledningsevnen \( \sigma \) er en materialegenskap.

j) Hva skjer med motstanden \( R \) til denne gjenstanden hvis vi dobler alle lengder i systemet?

Answer.

Halveres