En leder med kvadratisk tverrsnitt \( a^2 \) og lengde \( L \) er laget av et materiale med ledningsevne \( \sigma \). Vi skal nå finne et uttrykk for motstanden til denne komponenten på to måter. Vi legger \( x \)-aksen langs lengden \( L \).
Først, la oss anta at det går en strøm \( I \) i \( x \)-retningen. Vi antar også at strømtettheten er uniform inne i motstanden og null utenfor motstanden.
a) Hva er strømtettheten inne i mostanden?
\( J_x = I/A = I/a^2 \)
b) Hva er det elektriske feltet inne i motstanden?
\( E_x = J_x/\sigma = I/(a^2 \sigma) \)
c) Hva er det elektriske potensialet inne i motstanden?
\( V(x) = V_0 -x I/(a^2 \sigma) \)
d) Hva er spenningsforskjellen mellom endene av motstanden?
e) Hva blir da motstanden, \( R \), til denne komponenten?
La oss i stedet anta at hver ende av motstanden er koblet til en ideell leder. Den ene lederen har potensialet \( V = V_0 \), mens lederen på den andre siden har potensialet \( V= V_1 \).
f) Løs Laplace likning for systemet og finn \( V(x) \).
g) Finn det elektriske feltet.
\( E_x = -(V_1-V_0)/L \)
h) Finn strømtettheten.
\( J_x = \sigma (V_0- V_1)/L \)
i) Finn strømmen \( I \)
Vi har altså funnet at motstanden er \( R = L/(A\sigma) \). Merk at motstanden \( R \) er egenskapen til en dings - til en ting - mens ledningsevnen \( \sigma \) er en materialegenskap.
j) Hva skjer med motstanden \( R \) til denne gjenstanden hvis vi dobler alle lengder i systemet?
Halveres