Seminar uke 06: Strøm og motstand

Oppgave

Oppgave: Ohms lov for ladninger i en væske

(Du kan hoppe over denne oppgaven hvis du har liten tid) La oss se på en enkel modell for Ohms lov som kan veilede intuisjonen vår. Anta at du har små partikler med radius $ a $ og ladning $ q $ i en væske slik som vann. (Anta at det ikke er noen ladningsoverføring mellom partiklene og vannet, slik at de beholder ladningen $ q $.). Vi setter opp et elektrisk felte $ E_x $ over vannet.

a) Hvilke krefter vil virke på de ladede partiklene?

Answer.

Coulomb-kraften, $ q \vec{E} $, og den viskøse kraften fra væsken: $ \vec{D} $.

Du kan her anta at den viskøse kraften har formen $ \vec{D} = - 6\pi \eta a \vec{v} $, hvor $ \eta $ er en egenskap til vannet som kalles den dynamiske viskositeten.

b) Hva blir hastigheten til partiklene etter lang tid?

Answer.

$$v = \frac{qE}{6 \pi \eta a}$$

Solution.

Etter lang tid vil $ \sum F = qE + D = 0 $ slik at $ qE = 6 \pi \eta a v $ og $ v = \frac{qE}{6 \pi \eta a} $.

c) Hvor mange partikler $ N $ strømmer gjennom et areal $ A $ (som er normalt på hastigheten $ v $) i løpet at en liten tid $ \Delta t $? Du kan anta at det er $ n $ partikler per volumenhet i systemet.

Answer.

$ N = n A v \Delta t $

Solution.

Antallet partikler som strømmer gjennom arealet er antallet partikler som er i et volum med areal $ A $ og lengde $ v \Delta t $, dvs. $ N = n A v \Delta t $.

d) Hva blir strømtettheten for dette systemet?

Answer.

$$J = \frac{n q^2}{6 \pi \eta a}E$$

Solution.

Strømtettheten vil være gitt ved $ J_x = I/A $ hvor $ I = N q/\Delta t = n A v q $ som gir $$I = \frac{Nq}{\Delta t} = n A v q = n A q\frac{qE}{ 6\pi \eta a}$$ Vi ser derfor at strømtettheten er $$J = \frac{I}{A} = \frac{n q^2}{6 \pi \eta a}E$$

e) Her ser du hvilke egenskaper til denne væsken med ladninger som bidrar til ledningsevnen. Hvilke egenskaper til en leder/isolator tenker du at bidrar til ledningevnen $ \sigma $ til materialet?