Oppgave
Oppgave: Sammenlikning av linjeladning og linjestrøm
Figuren viser to systemer. Systemet til venstre viser en linjeladning og systemet til høyre viser en linjestrøm. Vi skal sammenlikne de to systemene for å se hvordan vi kan overføre ferdighetene vi har i å analysere og regne på linjeladninger til å kunne regne på linjestrømmer. Det er viktige likhetspunkter og forskjeller som vi skal se på i detalj.
Figure 5
Vi starter med å repetere hvordan vi fant feltet for linjeladningen i systemet til venste. Vi skal finne bidraget til det elektriske feltet i punktet \( (r,0,0) \) fra ladningselementet \( \rho \d l \) i punktet \( (0,0,z) \).
a) Tegn inn \( \vec{R} \)-vektor i figuren og finn et uttrykk for \( \vec{R} \)-vektor.
Answer.
$$\vec{R} = (r,0,-z)$$
Solution.
$$\vec{R} = \vec{r} - \vec{r}' = (r,0,0) - (0,0,z) = (r,0,-z)$$
b) Hvordan kunne du argumentere for at det elektriske feltet kun vil ha en radiell komponent – dvs. at det kun vil være en komponent i \( x \)-retningen i et punkt langs \( x \)-aksen.
Answer.
For hvert ladningselement \( \rho \d l \) vil det også finnes et ladningselement symmetrisk om \( xy \)-planet, og \( z \)-bidraget fra hver av disse komponentene vil kansellere.
c) Skriv ned bidraget \( \d E_x \) til det elektriske feltet i punktet \( (r,0,0) \).
Answer.
$$\d E_x = \frac{\rho \d l}{4 \pi \epsilon_0} \frac{R_x}{R^3} = \frac{\rho \d l}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r}{(z^2 + r^2)^{3/2}} \; . $$
d) Skriv ned integralet du må løse for å finne det totale elektriske feltet. Hva blir integralet? (Det er helt greit å skrive svaret rett ned, hvis du husker det eller du er rask med Gauss lov).
Answer.
$$E_x = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r}{(z^2 + r^2)^{3/2}} \, \d z = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 r}$$
Da er vi klar for å se på et liknende problem – en linjestrøm – som er vist i systemet til høyre. Vi skal finne bidraget til det magnetiske feltet i punktet \( (r,0,0) \) fra strømelementet \( I \d \vec{l} = I \d l \z \) i punktet \( (0,0,z) \).
e) Tegn inn \( \vec{R} \)-vektor i figuren og finn et uttrykk for \( \vec{R} \)-vektor.
Answer.
$$\vec{R} = (r,0,-z)$$
Solution.
$$\vec{R} = \vec{r} - \vec{r}' = (r,0,0) - (0,0,z) = (r,0,-z)$$
f) Hvilken retning vil bidraget til \( \vec{B} \)-feltet ha for alle strømelementene langs \( z \)-aksen?
Answer.
Vi ser av høyrehåndsregelen at alle bidragene blir rettet langs \( y \)-aksen.
g) Finn bidraget \( \d \vec{B} \) til det magnetiske feltet i punktet \( (r,0,0) \).
Answer.
$$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \d l r \y}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$$
Solution.
$$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \d \vec{l} \times \vec{R}}{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \d l \z \times (r,0,-z)}{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \d l r \y }{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \d l r \y}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$$
h) Skriv ned integralet du må løse for å finne det totale magnetiske feltet.
Answer.
$$\vec{B} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{I \mu_0}{4 \pi} \frac{r \y}{(z^2 + r^2)^{3/2}} \, \d z$$
i) Kan du skrive ned løsningen på integralet direkte ved å sammenlikne med resultatet du fikk for det elektriske feltet?
Answer.
$$\vec{B} = \frac{I \mu_0}{2 \pi r} \y$$
j) Kan du kort oppsummere forskjellene mellom de to fremgangsmåtene?
Answer.
Den viktigste forskjellen er forskjellen mellom å bruke \( \vec{R} \) direkte for å finne det elektriske feltet og \( \d \vec{l} \times \vec{R} \) for å finne det magnetiske feltet.