Vi skal i denne oppgaven se på ladninger i en tokamak, som er en magnetisk beholder som er designet for å holde på et plasma – en gass av ladede partikler. Tokamak-konstruksjonen er en av flere konstruksjoner som blir utforsket som mulige systemet for å holde på et plasma som gjennomgår fusjon. Du kan lese mer om tokamak-geometrien på wikipedia. Dessuten kan det være spennende å lese om hvordan DeepMind (kjent fra bl.a. AlphaZero) bruker maskinlæring til å designe bedre Tokamak-geometrier. Dette kan du lese om i en artikkel i Nature fra februar. For tiden foregår det dessuten en spennende utvikling av alternative geometrier, slik som Stellarator-geometrien som baserer seg på å sette opp et inhomogent magnetfelt. I prinsippet kan vi finne magnetfeltet i en Tokamak eller Stellarator-geometri med de numeriske metodene vi har innført i Fys1120.
Vi starter med å se på et homogent magnetfelt \( \vec{B} = B_0 \z \).
a) Hva skjer med en partikkel med masse \( m \) og ladning \( Q \) som beveger seg med magnetfeltet?
Ingenting - kraften fra magnetfeltet er null.
b) Finn banen til en partikkel med masse \( m \) og ladning \( Q \) som begynner med en hastighet \( \vec{v} = v_0 \x \).
Den vil bevege seg i en sirkelbane med radius \( r = mv/(Q B_0) \).
Vi ser nå på en forenkling av det magnetiske feltet inne i en Tokamak - et homogent sirkulært magnetfelt som i sylinderkoordinater med aksen i tokamaken langs \( z \)-aksen er: \( \vec{B} = B_0 \phihat \).
c) Hvis partikkel begynner med en hastighet langs magnetfeltet, vil den fortsette i en sirkulær bane rundt \( z \)-aksen?
Nei
Følgende program løser bevegelseslikningene for en ladet partikkel, men den mangler noen få elementer.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def B_vec(B0,r):
phihat = np.cross(np.array([0,0,1]),r)
return B0*phihat/np.linalg.norm(phihat)
r0 = np.array([2,0,0])
v0 = np.array([0,1,0])
dt = 0.01
B0 = 1.0
m = 1.0
T = 100.0
Q = 1.0
nstep = int(T/dt)
v = np.zeros((nstep,3))
r = np.zeros((nstep,3))
v[0] = v0
r[0] = r0
for i in range(nstep-1):
F = # Fyll inn her
a = F/m
v[i+1] = v[i] + a*dt
r[i+1] = r[i] + v[i+1]*dt
from mpl_toolkits import mplot3d
plt.figure(figsize=(10,10))
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot3D(r[:,0],r[:,1],r[:,2],'gray')
d) Legg inn en korrekt kraftlov og kjør koden. Hva observerer du? Endre på \( \vec{v}_0 \) og se hva som skjer.
for i in range(nstep-1):
B = B_vec(B0,r[i])
F = np.cross(Q*v[i],B)
a = F/m
v[i+1] = v[i] + a*dt
r[i+1] = r[i] + v[i+1]*dt
e) Hvordan kan vi modifisere det magnetiske feltet for å holde partikkelen inne i en smultringformet tokamak? Test ut noen enkle varianter og se hva som skjer.
Se på bilder av en tokamak på nettet for inspirasjon.
Her har jeg ikke noe klart svar til dere - her må dere tenke eller utforske selv. Det ser ut som om det er opp til deg og din generasjon å finne en løsning som gjør fusjon mulig!
f) Hvis du vil prøve ut et litt annet felt, kan du prøve \( \vec{B} = (B_0/b)(x,y,-2z) \) hvor du kan sette \( B_0/b = 0.1 \) og forøvrig de samme verdiene som ovenfor. Hvordan blir nå bevegelsen til en ladning?