(Du kan godt hoppe over denne oppgaven --- den går litt mer i dybden på parameteriserte kurver og kurveintegralet) I denne oppgaven skal vi eksplisitt sette opp et parameterisert kurveintegral langs en strømsløyfe. Vi skal se på en sirkulær strøm i \( xy \)-planet med sentrum i origo, radius \( a \) og en strøm \( I \).
a) Finn en parameterisering av kurven som beskriver strømsløyfen, \( \vec{r}'(\phi) \), hvor \( \phi \) er vinkelen fra \( x \)-aksen.
b) Vi skal finne det magnetiske feltet langs \( z \)-aksen. Hva er \( \vec{R} \)-vektor for et strømelement i punktet \( \vec{r}'(\phi) \)?
c) Hva blir \( \d \vec{l} \) uttrykt ved \( \phi \) og \( \d \phi \)?
d) Hva er bidraget til magnetfeltet i \( (0,0,z) \) fra et strømelement i punktet \( \vec{r}'(\phi) \)?
e) Hva blir kurveintegralet over strømsløyfen? Skriv integralet som et integral over \( \phi \).
f) Hvordan blir disse utregningene endret dersom vi i stedet parameteriserer kurven ved buelengden \( s \) slik at \( \vec{r}'(s) = a (\cos (s/a), \sin(s/a), 0) \)?
Utregningene blir nær identiske, men integralet blir nå over \( s \) fra \( 0 \) til \( 2 \pi a \).