Seminar uke 08: Magnetisk felt

Oppgave

Oppgave: Eksplisitt parameterisert kurve

(Du kan godt hoppe over denne oppgaven --- den går litt mer i dybden på parameteriserte kurver og kurveintegralet) I denne oppgaven skal vi eksplisitt sette opp et parameterisert kurveintegral langs en strømsløyfe. Vi skal se på en sirkulær strøm i $ xy $-planet med sentrum i origo, radius $ a $ og en strøm $ I $.

a) Finn en parameterisering av kurven som beskriver strømsløyfen, $ \vec{r}'(\phi) $, hvor $ \phi $ er vinkelen fra $ x $-aksen.

Answer.

$$\vec{r}(\phi) = a(\cos \phi, \sin \phi, 0)$$

Solution.

Vi kan beskrive en posisjon langs kurven ved $$\vec{r}(\phi) = a(\cos \phi, \sin \phi, 0)$$

b) Vi skal finne det magnetiske feltet langs $ z $-aksen. Hva er $ \vec{R} $-vektor for et strømelement i punktet $ \vec{r}'(\phi) $?

Answer.

$$\vec{R} = (0,0,z)-a(\cos \phi, a \sin \phi,0) = (- a\cos \phi, - a\sin \phi, z)$$

c) Hva blir $ \d \vec{l} $ uttrykt ved $ \phi $ og $ \d \phi $?

Answer.

$$\d \vec{l} = \frac{\d \vec{r}'(\phi)}{\d \phi}\d \phi = a(- \sin \phi, \cos \phi) \d \phi$$

d) Hva er bidraget til magnetfeltet i $ (0,0,z) $ fra et strømelement i punktet $ \vec{r}'(\phi) $?

Answer.

$$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a \d \phi (z \cos \phi, z \sin \phi, a)}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$$

Solution.

$$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \d \vec{l} \times \vec{R}}{R^3}$$ Men Hvor $ \d \vec{l} = a(-\sin \phi, \cos \phi, 0) $. Vi finner først $$\vec{l} \times \vec{R} = a (-\sin \phi, \cos \phi, 0) \d \phi \times (-a \cos \phi, - a \sin \phi, z) = a(z \cos \phi, z \sin \phi, a) \d \phi$$ Dermed finner vi: $$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a \d \phi (z \cos \phi, z \sin \phi, a)}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$$

e) Hva blir kurveintegralet over strømsløyfen? Skriv integralet som et integral over $ \phi $.

Answer.

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a 2 \pi \z }{(z^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a }{2(z^2 + a^2)^{3/2}}\z$$

Solution.

Kurveintegralet finner vi ved å integrere $ \phi $ fra $ 0 $ til $ 2 \pi $. $$\vec{B} = \oint_C \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a \d \phi (z \cos \phi, z \sin \phi, a)}{(z^2 + a^2)^{3/2}} = \int_0^{2 \pi}\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a \d \phi (z \cos \phi, z \sin \phi, a)}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$$ Merk at integralet over $ \cos \phi $ og $ \sin \phi $ er null. Dermed sitter vi igjen kun med $ z $-komponenten: $$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a 2 \pi \z }{(z^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a }{2(z^2 + a^2)^{3/2}}\z$$

f) Hvordan blir disse utregningene endret dersom vi i stedet parameteriserer kurven ved buelengden $ s $ slik at $ \vec{r}'(s) = a (\cos (s/a), \sin(s/a), 0) $?

Answer.

Utregningene blir nær identiske, men integralet blir nå over $ s $ fra $ 0 $ til $ 2 \pi a $.