I denne oppgaven skal vi eksplisitt sette opp et parameterisert kurveintegral langs en strømsløyfe. Vi skal se på en sirkulær strøm i \( xy \)-planet med sentrum i origo, radius \( a \) og en strøm \( I \).
a) Finn en parameterisering av kurven som beskriver strømsløyfen, \( \vec{r}'(\phi) \), hvor \( \phi \) er vinkelen fra \( x \)-aksen.
$$\vec{r}(\phi) = a(\cos \phi, \sin \phi, 0)$$
b) Vi skal finne det magnetiske feltet langs \( z \)-aksen. Hva er \( \vec{R} \)-vektor for et strømelement i punktet \( \vec{r}'(\phi) \)?
$$\vec{R} = (0,0,z)-a(\cos \phi, a \sin \phi,0) = (- a\cos \phi, - a\sin \phi, z)$$
c) Hva blir \( \d \vec{l} \) uttrykt ved \( \phi \) og \( \d \phi \)?
$$\d \vec{l} = \frac{\d \vec{r}'(\phi)}{\d \phi}\d \phi = a(- \sin \phi, \cos \phi) \d \phi$$
d) Hva er bidraget til magnetfeltet i \( (0,0,z) \) fra et strømelement i punktet \( \vec{r}'(\phi) \)?
$$\d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a \d \phi (z \cos \phi, z \sin \phi, a)}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$$
e) Hva blir kurveintegralet over strømsløyfen? Skriv integralet som et integral over \( \phi \).
$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I a 2 \pi \z }{(z^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I a }{2(z^2 + a^2)^{3/2}}\z$$
f) Hvordan blir disse utregningene endret dersom vi i stedet parameteriserer kurven ved buelengden \( s \) slik at \( \vec{r}'(s) = a (\cos (s/a), \sin(s/a), 0) \)?
Utregningene blir nær identiske, men integralet blir nå over \( s \) fra \( 0 \) til \( 2 \pi a \).