Oppgave
Oppgave: Feltet fra en tornado
Du har nettopp sett filmen Twisters og begynner å diskutere hvordan vindhastigheten er inne i en tornado.
a) Skisser hastighetsfeltet i en tornado. Plasser origo i sentrum. Dere gjør dette enkeltvis.
b) Sammenlikn med en medstudent. Har dere omtrent samme skisse?
c) Hvordan er oppførselen i midten av tornadoen. Og langt unna?
Solution.
Hastigheten vil gå mot null i midten av tornadoen og langt unna.
d) Kan du beskrive dette hastighetsfeltet, \( \vec{v}(x,y) \), som en vektorfelt? Finn på en funksjonsform som du synes virker rimelig.
Solution.
Enhetsvektoren i den azimuthale retningen er:
$$ \begin{equation} \vec{u}(\vec{r}) = \frac{(-y,x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \; . \tag{1} \end{equation} $$Vi kan så velge oss en passende form i den radielle retningen, f.eks. \( r e^{-r/a} \), og så sette dette sammen i en funksjon på formen:
$$ \begin{equation} \vec{v}(\vec{r}) = r e^{-r/a}\frac{(-y,x)}{r} = e^{-r/a} (-y,x) \;. \tag{2} \end{equation} $$e) Hvordan kan du sjekke hvordan dette feltet ser ut i \( xy \)-planet. Visualiser feltet i \( xy \)-planet.
Solution.
Vi plotter feltet med et enkelt python program:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x0,x1 = -4,4
y0,y1 = -4,4
Nx,Ny = 20,20
x = np.linspace(x0,x1,Nx)
y = np.linspace(y0,y1,Ny)
rx,ry = np.meshgrid(x,y,indexing='ij')
a = 1.75
vx = np.zeros((Nx,Ny),float)
vy = np.zeros((Nx,Ny),float)
for i in range(Nx):
for j in range(Ny):
rnorm = np.sqrt(rx[i,j]**2+ry[i,j]**2)
vx[i,j] = np.exp(-rnorm/a)*(-ry[i,j])
vy[i,j] = np.exp(-rnorm/a)*( rx[i,j])
plt.figure(figsize=(8,8))
plt.quiver(rx,ry,vx,vy)
plt.axis('equal')
The resulting plot is shown in the figure.
Figure 1
