Du skal fylle vann i en bøtte fra en elv. Anta at hastighetsfeltet i elven er uniformt: \( \vec{v} = v_0 \x \). Anta også at strømmen av vannet ikke påvirkes av bøtta. (Det er jo opplagt ikke riktig, men anta det likefullt).
a) Du ønsker å fylle bøtta fortest mulig. Hvordan bør du da holde den? Beskriv orienteringen av overflaten \( S \) som er åpningen i bøtta.
Solution.
Jeg må holde bøtte slik at åpningen er normal på strømretningen.
Jeg kan beskrive orienteringen til overflaten \( S \) til bøtte ved en normalvektor. Hvis denne peker ut av bøtta, så må jeg orientere bøtta slik at normalvektoren peker motsatt vei av hastighetsfeltet.
Overflateintegralet \( \Phi = \int_S \vec{v} \cdot \d \vec{S} \), hvor \( S \) er åpningen til bøtta, forteller hvor mye vann som kommer inn i bøtta per tidsenhet. Vi kaller denne fluksen.
b) Finn \( \Phi \) for bøtta med den orienteringen du fant i oppgave (a).
Answer.
Solution.
Fluksen \( \Phi \) er gitt som overflateintegralet. Fordi \( \vec{v} \) er uniform, så kan vi sette den utenfor integralet:
$$ \begin{equation} \Phi = \int_S \vec{v} \cdot \d \vec{S} = \Phi = \vec{v} \cdot \int_S \d \vec{S} = \vec{v} \cdot \vec{S}\; . \tag{11} \end{equation} $$Vi velger normalvektoren parallell med hastighetsfeltet slik at prikkproduktet blir \( \Phi = | \vec{v}| |\vec{S}| = v S \).
c) Hva skjer hvis du i stedet holder åpningen til bøtte langsmed strømmen, altså langsmed \( x \)-aksen? Hva blir \( \Phi \) nå?
Answer.
Solution.
I dette tilfellet blir \( \vec{v} \) og \( \vec{S} \) normale på hverandre og fluksen blir null.
d) Din venn Q ser deg snu på bøtten og sier at det ikke spiller noen rolle hvilken vei du holder bøtten. Fluksen er kun avhengig av tverrsnittarealet til bøtten. Og størrelsen på åpningen til bøtten endrer seg ikke hvis snur på den. Så fluksen må bli den samme. Har Q rett? Hvis han ikke rett, hva er galt med argumentet hans?
Solution.
Det er riktig at arealet av åpningen på bøtta er det samme. Men med tverrsnittarealet mener vi ikke arealet på åpningen til bøtta, men vi mener størrelsen på arealet som er normalt på hastighetsfeltet.
e) Hvilken vei er positiv orientering av overflaten \( S \)? Hva betyr det for \( \Phi \)? Gir det her mening å beskrive overflaten med en vektor, \( \vec{S} \)? Fysisk, hva betyr det om vi endrer fortegnet på den overflaten \( \vec{S} \) som du valgte i oppgave (a)?
Solution.
Vi må bestemme oss for om positiv retning på overflaten er inn i eller ut av bøtta. Hvis vi velger at positiv retning er inn i bøtta, så blir fluksen positiv når vannet strømmer inn i bøtta og den fylles opp. Hvis vi velger at positiv retning er ut av bøtta, så blir fluksen negativ når vannet strømmer inn i bøtta og den fylles opp.
f) Hva hvis overflaten \( S \) ikke var plan, men var formet som en halvkule. Hva blir da fluksen \( \Phi \) gjennom overflaten med orienteringen du valgte i oppgave (a)? Blir dette svaret det samme uavhengig av \( \vec{v}(x,y,z) \)?
Solution.
Så lenge hastighetsfeltet er uniformt, så vil fluksen kun være avhengig av tverrsnittarealet, eller egentlig kun av størrelsen og orienteringen på kurven. En måte å se det på er å innse at divergensen til feltet er null. Da må det som strømmen inn gjennom en overflaten som spennes ut av kurven \( C \) være like stort som det som strømmer ut gjennom en annen overflate. (Se om du kan bruke divergensteoremet til å vise dette i et området hvor divergensen er null).
Dersom hastighetsfeltet ikke er uniformt vil dette ikke lenger være tilfelle.