Du skal fylle vann i en bøtte fra en elv. Anta at hastighetsfeltet i elven er uniformt: \( \vec{v} = v_0 \x \). Anta også at strømmen av vannet ikke påvirkes av bøtta. (Det er jo opplagt ikke riktig, men anta det likefullt).
a) Du ønsker å fylle bøtta fortest mulig. Hvordan bør du da holde den? Beskriv orienteringen av overflaten \( S \) som er åpningen i bøtta.
Overflateintegralet \( \Phi = \int_S \vec{v} \cdot \d \vec{S} \), hvor \( S \) er åpningen til bøtta, forteller hvor mye vann som kommer inn i bøtta per tidsenhet. Vi kaller denne fluksen.
b) Finn \( \Phi \) for bøtta med den orienteringen du fant i oppgave (a).
c) Hva skjer hvis du i stedet holder åpningen til bøtte langsmed strømmen, altså langsmed \( x \)-aksen? Hva blir \( \Phi \) nå?
d) Din venn Q ser deg snu på bøtten og sier at det ikke spiller noen rolle hvilken vei du holder bøtten. Fluksen er kun avhengig av tverrsnittarealet til bøtten. Og størrelsen på åpningen til bøtten endrer seg ikke hvis snur på den. Så fluksen må bli den samme. Har Q rett? Hvis han ikke rett, hva er galt med argumentet hans?
e) Hvilken vei er positiv orientering av overflaten \( S \)? Hva betyr det for \( \Phi \)? Gir det her mening å beskrive overflaten med en vektor, \( \vec{S} \)? Fysisk, hva betyr det om vi endrer fortegnet på den overflaten \( \vec{S} \) som du valgte i oppgave (a)?
f) Hva hvis overflaten \( S \) ikke var plan, men var formet som en halvkule. Hva blir da fluksen \( \Phi \) gjennom overflaten med orienteringen du valgte i oppgave (a)? Blir dette svaret det samme uavhengig av \( \vec{v}(x,y,z) \)?