Et vektorfelt har formen \( \vec{f} = (y+2,2) \) i \( xy \)-planet.
a) Skriv opp linjeintegralet for en linje langs \( x \)-aksen fra \( x = 0 \) til \( x = 5 \). Parameteriser linjen med en variabel \( t \).
b) Hvordan ser linjeintegralet ut hvis linjen i stedet er langs linjen \( y=2 \) fra \( x = 0 \) til \( x = 5 \) og hva blir resultatet?
c) Din venninne Q har løst oppgaven ved å parameterisere linjen med posisjonen \( x \).
$$ \begin{equation} \int_C \vec{f} \cdot \d \vec{l} = \int_0^5 (0+2,2) \cdot (1,0) \d x \; . \tag{1} \end{equation} $$Men det kan vel ikke være riktig, sier hun, fordi en linje skal parameteriseres med variabelen \( t \). Stemmer dette? Har Q gjort det riktig?
d) Finn linjeintegralet langs en linje \( y=2x \) fra \( (0,0) \) til \( (1,2) \).
e) Finnes det flere måter å parameterisere denne linjen på? Betyr parameteriseringen noe for linjeintegralet? Hvorfor/hvorfor ikke?