Et vektorfelt har formen \( \vec{f} = (y+2,2) \) i \( xy \)-planet.
a) Skriv opp linjeintegralet for en linje langs \( x \)-aksen fra \( x = 0 \) til \( x = 5 \).
Solution.
Vi kan skrive det enkelt, ved kun å sette inn integralet som \( \d \vec{r} = \d x \, \x \) i dette tilfellet. Det betyr at det er en parameterisert kurve \( \vec{r}(x) = (x,0) \). Da blir integralet
$$ \begin{equation} \int_C \vec{f} \cdot \d \vec{l} = \int_0^5 (0+2,2) \cdot (1,0) \d x = \int_0^5 2 \d x = 10 \; . \tag{3} \end{equation} $$Merk spesielt at svaret skal bli en skalar.
b) Hvordan ser linjeintegralet ut hvis linjen i stedet er langs linjen \( y=2 \) fra \( x = 0 \) til \( x = 5 \) og hva blir resultatet?
Solution.
Vi kan bruke samme metode og finner da at
$$ \begin{equation} \int_C \vec{f} \cdot \d \vec{l} = \int_0^5 (2+2,2) \cdot (1,0) \d x = \int_0^5 4 \d x = 20 \; . \tag{4} \end{equation} $$c) Din venninne Q sier at svaret ditt umulig kan være riktig fordi et linjeintegral er langs en parameterisert kurve, mens ditt integral kun er over \( x \). Stemmer dette? Har du gjort det riktig?
Solution.
Ja, vi har gjort det riktig, fordi vi har laget en parameterisert kurve, parameterisert med \( x \) som parameter.
d) Kan du finne en parameterisert kurve langs \( x \)-aksen og regne ut integralet med utgangspunkt i denne parameteriseringen?
Solution.
Vi kunne også ha laget en parameterisert kurve \( \vec{r}(t) = (t,y_0) \) hvor \( t \) går fra \( 0 \) til \( 5 \) i integralet. Vi ser at dette gir det samme integralet:
$$ \begin{equation} \int_C \vec{f} \cdot \d \vec{l} = \int_0^5 \vec{f}(\vec{r}(t)) \frac{\d \vec{r}}{\d t}\d t \; . \tag{5} \end{equation} $$Her er
$$ \begin{equation} \frac{\d \vec{r}}{\d t} = (1,0) \; . \tag{6} \end{equation} $$slik at
$$ \begin{equation} \int_0^5 \vec{f}(\vec{r}(t)) \frac{\d \vec{r}}{\d t}\d t = \int_0^5 (y_0+2,2) \cdot (1,0) \d t = \int_0^5 (y_0 + 2) \d t \; . \tag{7} \end{equation} $$Dette gir det samme resultatet som vi fant ovenfor.
e) Finn linjeintegralet langs en linje \( y=2x \) fra \( (0,0) \) til \( (1,2) \).
Solution.
Vi lager en parameterisert kurve for denne linjen
$$ \begin{equation} \vec{r}(t) = (0,0) + (1,2)t = (t,2t) \; , \tag{8} \end{equation} $$hvor
$$ \begin{equation} \frac{\d \vec{r}}{\d t} = (1,2) \; . \tag{9} \end{equation} $$Linjeintegralet blir da:
$$ \begin{equation} \int_C \vec{f} \cdot \d \vec{l} = \int_0^t \vec{f}(\vec{r}(t)) \cdot \frac{\d \vec{r}}{\d t }\d t = \int_0^1 (2+2t,2) \cdot (1,2) \d t =\int_0^1 (2 + 2t + 4) \d t = [ 2t + t^2 + 4t ]_0^1 = 7 \;. \tag{10} \end{equation} $$f) Finnes det flere måter å parameterisere denne linjen på? Betyr parameteriseringen noe for linjeintegralet? Hvorfor/hvorfor ikke?
Solution.
Ja, vi kan finne mange mulige parameteriseringer av linjen. F.eks. kunne vi valgt å la \( t \) gå fra \( 0 \) til \( 2 \), men i stedet satt en faktor \( 1/2 \) foran retningen \( (1,2) \): \( \vec{r}(t) = (0,0) + (1/2) (1,2) t \) hvor \( t \) går fra \( 0 \) til \( 2 \). Hvis du regner dette ut ser du at det gir samme resultat.
Vi får alltid samme resultat uavhengig av valg av parameterisering av linjeintegralet. Det kan vi se ved å vise at vi alltid kan skrive om en parameterisering til en buelengde-parameterisering, og denne må være unik.