Din venninne Q har fått i oppgave å beskrive strømmen av vann på et bord. Vannet kommer ned fra en kran i origo og strømmer utover bordet. Du ser at vannfilmen på bordet har omtrent samme tykkelse overalt. Q har laget modellen \( \vec{v} = C(x,y) \) hvor \( C \) er en konstant for hastighetsfeltet til vannet.
a) Skisser feltet
Solution.
Feltet peker radielt utover og størrelsen er proporsjonal med avstanden \( r \) til origo.
b) Finn divergensen til feltet.
Solution.
Divergensen er
$$ \begin{equation} \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} = C + C = 2C \; . \tag{12} \end{equation} $$c) Kan dette feltet beskrive det fysiske systemet? (Prøv å forstå hva resultatet du fikk for divergensen forteller deg).
Solution.
Nei. Fordi divergensen ikke er null. Divergensen må være null fordi vannet ikke lagres opp.
Det finnes forskjellige måter å argumentere for dette på. Vi kan lage to sylindriske overflater med radius \( a \) og \( b \) sentrert om origo. Da må det strømme like mye inn i den innerste flaten som det strømmer ut av den ytterste. Men det er ikke tilfellet med det foreslåtte feltet.
d) Kan du finne en bedre modell for hastighetsfeltet til vannet?
Solution.
Hvis vannet har stått på lenge, så forventer vi at vannet strømmer fra origo og utover. Men vi forventer at det strømmer like mye vann inn gjennom en overflate i avstand \( a \) som det strømmer ut gjennom en overflate i avstand \( b \) hvor \( b > a \). Det betyr at fluksen gjennom alle sylinderoverflaten med origo i sentrum må være den samme. Denne fluksen er
$$ \begin{equation} \Phi = 2 \pi r v(r) = C \quad \Rightarrow \quad v(r) = \frac{C}{2 \pi r} \; . \tag{13} \end{equation} $$Dessuten må feltet peke radielt utover pga symmetri. (Vi antar at systemet har rotasjonssymmetri om \( z \)-aksen der vannet strømmer inn --- systemet skal se likt ut om vi roterer det rundt denne aksen. Derfor kan hastighetsfeltet kun peke utover.