$$ \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} $$

 

 

 

Kapasitans

Teori

Introduksjon til kapasitans

Et system som består av to (eller flere) ledere har en egenskap som vi kaller kapasitans . Kapasitansen forteller oss hvor mye ladning \( Q \) systemet kan lagre ved en gitt spenningsforskjell \( V \) mellom lederne, \( Q = C V \). Vi kaller størrelsen \( C \) for kapasitansen til systemet.

Kapasitansen er en egenskap til geometrien til systemet, det vil si geometrien til lederene og de dielektriske egenskapene til materialet rundt lederne.

Vi finner kapasitansen på to måter: 1. Vi antar at en leder har ladningen \( +Q \) og den andre lederen har ladningen \( -Q \). Vi finner så det elektriske feltet og med det potensialforskjellen \( V \) mellom lederne. Fra dette bestemmer vi \( C = Q/V \). 2. Vi antar at en leder har potensial \( V \) og den andre potensialet \( 0 \). Vi løser så Laplace likning, finner det elektriske feltet og bruker det elektriske feltet til å finne overflateladningstettheten på overflaten av lederne. Det gir oss ladningen \( Q \) og \( -Q \) på de to lederne. Vi finner så kapasitansen fra \( C = Q/V \).

Hvis vi kobler kapasitansene \( C_i \) i parallell, blir den samlede kapasitansen \( C = \sum_i C_i \). Hvis vi kobler kapasitansene \( C_i \) i serie, blir den samlede kapasitanse \( 1/C = \sum_i 1/C_i \).

Energien som er lagret i en kapasitans \( C \) er \( U = Q^2/(2C) = CV^2/2 \). Energitettheten til det elektriske feltet er \( u = \vec{D}\cdot \vec{E}/2 = \epsilon E^2 /2 \).