I tilfellene vi har sett på til nå har vi gitt ladningsfordelingen og ønsket å finne det elektriske feltet og det elektriske potensialet. Da har vi brukt Coulombs lov og Gauss lov som metoder til å finne felt og potensial.
Men i mange tilfeller vil vi ikke vite hva ladningsfordelingen er, men i stedet vil vi kjenne potensialet i noen punkter. I det tilfellet vil vi heller prøve å finne potensialet direkte uten å vite ladningsfordelingen. Da trenger vi en lov i form av en likning som beskriver potensialet. Den finner vi ved å kombinere Gauss' lov \( \nabla \cdot \vec{E} = \rho/\epsilon_0 \) og relasjonen mellom potensialet \( V \) og feltet \( \vec{E} \): \( \vec{E} = - \nabla V \). Vi setter disse likningene sammen og får $$\nabla \cdot \vec{E} = \nabla \cdot (- \nabla V) = - \nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$ Denne likningen kalles Poissons likning . I områder hvor det ikke er noen ladning er \( \rho=0 \) og likningen forenkles til Laplace likning $$\nabla^2 V= 0$$
Vi kan vise at det alltid finnes en løsning av disse likningene og at løsningen er bestemt av gransebetingelsene . At løsningen er bestemt av grensebetingelsene er ikke så rart. Det var jo hele motivasjonen vår. Vi ønsket å finne en måte å finne det elektriske potensialet når vi visste det i noen punkter.