Du vet at det er en potensialforskjell mellom punktene \( x = 0 \, \text{cm} \) og \( x = 1 \, \text{cm} \) er \( 1.5 \, \text{V} \). Vi ønsker å finne det elektriske potensialet langs \( x \)-aksen ved hjelp av Laplace likning.
a) Lag en tegning av systemet. Hva vet du om grensebetingelsene? Dvs. vet du hva potensialet er i noen bestemte punkter langs \( x \)-aksen? Hva er potensialet uendelig langt vekk?
\( V(0) = 0 \), \( V(1) = 1.5 \) (eller motsatt). Uendelig langt vekk vet vi ikke hva potensialet er, men vi forventer at det blir en konstant. (Alle varianter der forskjellen mellom de to punktene er 1.5V er riktige svar).
b) Forklar hvorfor vi kan bruke Laplace likning til å finne det elektriske potensialet langs \( x \)-aksen.
Fordi \( \rho=0 \).
c) Skriv ned Laplace likning og grensebetingelsene du kjenner. Finn en generell løsning av likningen (dvs. en løsning av likningen uten at du har satt inn for grensebetingelsene).
\( V(x) = Ax + B \)
d) Finn den spesielle løsningen av Laplace likning --- altså løsningen som er konsistent med grensebetingelsene.
\( V(x) = -1.5 \text{V/cm} x + 1.5 \text{V} \) eller \( V(x) = 1.5 \text{V/cm} x \) (avhengig av om du antar at potensialet er høyest eller lavest i punktet \( x=0 \)).
e) Finn det elektriske feltet.
\( E_x = 1.5 \text{V/cm} \) for \( 0 < x < 1 \) og utenfor dette er \( E_x = 0 \). (Hvis du har valgt at potensialet er lavest i \( x=0 \) vil \( E_x = - 1.5 \text{V/cm} \) for \( 0 < x < 1 \) og \( E_x=0 \) utenfor dette.)
f) Kjenner du igjen dette elektriske feltet? Hva slags fysisk system tror du dette er i en virkelig tredimensjonal verden?
To uendelige paralelle ladede plater.