Din venninne Q forteller at hun har funnet en feil i de elektromagnetiske lovene. Hun tenker seg at hun plasserer ut en ladning \( Q \) med en liten radius \( a \) i origo. Overflaten av ladningen har potensialet \( V_0 \).
Hvis hun nå løser Laplace likning i en dimensjon finner hun at det elektriske potensialet må avta eller øke lineært vekk fra ladningen. Hvis hun løser Laplace likning i to dimensjoner er det elektriske potensialet en logaritme av avstanden til ladningen \( V(r) = A \ln r + B \). Men hun vet at det elektriske potensialet til en enkelt ladning skal være \( V(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} \) fra Coulombs lov.
Her er det opplagt noe galt, sier hun. Maxwells likninger eller Laplace likning må være gale. Hjelp meg å løse dette så vi kan få Nobelprisen sammen!
Hva er galt?
Hvis vi løser problemet i en dimensjon, f.eks. langs \( x \)-aksen, så har vi antatt at det ikke er noen variasjon i \( V \) i \( y \) og \( z \)-retningene. Det svarer til at det er uendelige plan med ladning.
Hvis vi løser problemet i to dimensjoner har vi antatt at det ikke er noen variasjon langs \( z \)-aksen. Det betyr at vi ser på et system som er uendelig langt langs \( z \)-aksen. Dette svarer til en uendelig lang linjeladning.
Hvis vi løser problemet i tre dimensjoner, slik vi gjør med Coulombs lov, så finner vi nettopp uttrykket fra Coulombs lov. Det kan vi også finne ved å løse Laplace likning i sfæriske koordinater.