$$ \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} $$

 

 

 

Oppgave

Avansert Oppgave: Laplace-likning og dimensjonalitet

Din venninne Q forteller at hun har funnet en feil i de elektromagnetiske lovene. Hun tenker seg at hun plasserer ut en ladning \( Q \) med en liten radius \( a \) i origo. Overflaten av ladningen har potensialet \( V_0 \).

Hvis hun nå løser Laplace likning i en dimensjon finner hun at det elektriske potensialet må avta eller øke lineært vekk fra ladningen. Hvis hun løser Laplace likning i to dimensjoner er det elektriske potensialet en logaritme av avstanden til ladningen \( V(r) = A \ln r + B \). Men hun vet at det elektriske potensialet til en enkelt ladning skal være \( V(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} \) fra Coulombs lov.

Her er det opplagt noe galt, sier hun. Maxwells likninger eller Laplace likning må være gale. Hjelp meg å løse dette så vi kan få Nobelprisen sammen!

Hva er galt?