Laplace likning er praktisk fordi vi vanligvis ikke kjenner ladningsfordelingen, mens vi kjenner potensialforskjellene i et system. Ulempen er at det kan være vanskelig å finne analytiske løsninger på Laplace likning for realistiske systemer. Men heldigvis finnes det robust numeriske metoder til å løse Laplace likning.
Vi kan diskretisere det elektriske potensialet ved å kun beregne i det i noen punkter på et regulært rutenett, \( x_i = i \Delta x \). Vi vet at vi da kan tilnærme den romlig deriverte med $$\frac{\partial V}{\partial x} \simeq \frac{V(x + \Delta x) - V(x)}{\Delta x}$$ og vi kan tilnærme den andre-deriverte med $$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \simeq \frac{\frac{V(x + \Delta x) - V(x)}{\Delta x}-\frac{V(x) - V(x - \Delta x)}{\Delta x}}{\Delta x} = \frac{V(x-\Delta x)+V(x+\Delta x)-2V(x)}{\Delta x^2}$$ Vi kan bruke dette til å finne en diskret versjon av Laplace likning $$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} =0 \quad \Rightarrow \quad \left( V(x + \Delta x) - V(x) \right) - \left( V(x) - V(x - \Delta x) \right) = 0 $$ Denne kan skrive om til $$V(x) = \frac{1}{2}\left( V(x+\Delta x) + V(x-\Delta x) \right) $$ Det betyr at løsningen skal være slik at hvert enkelt punkt er gjennomsnittet av punktene rundt seg.
Men hvordan finner vi en løsning, dvs. et sett med verdier \( V(x_i) \), som tilfredsstiller denne likning og grensebetingelsene? Det gjør vi ved å anvende denne relasjonen: \( V(x,t+1) = (V(x+\Delta x,t) + V(x-\Delta x,t))/2 \) igjen og igjen for hvert enkelt punkt \( x \) til verdiene for all \( V(x_i) \) ikke lenger endrer seg vesentlig.
Men hvor kommer grensebetingelsene inn? Jo, for noen \( x_i \) så er \( V(x_i) \) gitt og endrer seg ikke --- det er for grensebetingelsene.