Vi skal øve på symmetrier ved å finne symmetriene til et uendelig stort, uniformt ladet plan med flateladningstetthet \( \rho_S \). (Vi antar at planet er \( xy \)-planet).
a) Hva betyr det at planet er uniformt ladet?
At ladningstettheten er den samme overalt i planet.
b) Hva slags symmetrier har dette systemet? List opp alle du kommer på --- de kan være nyttige når vi skal beskrive det elektriske feltet.
Symmetri betyr her at systemet blir det samme om vi gjør en symmetri-operasjon slik som å speile, rotere eller forflytte systemet.
Rotasjonssymmetri om en akse parallel med \( z \)-aksen. Translasjonssymmetri i \( xy \)-planet. Symmetri når vi speiler systemet om \( xy \)-planet. Symmetri når vi speiler systemet om ethvert plan som er normalt på \( xy \)-planet.
Vi ønsker å beskrive det elekriske feltet med sylinderkoordinater. $$\vec{E} = E_r(r, \phi, z) \rhat + E_{\phi}(r, \phi, z) \phihat + E_z(r, \phi, z) \z$$
c) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at ingen av komponentene til det elektriske feltet kan avhenge av \( \phi \)?
Siden systemet har rotasjonssymmetri må det elektriske feltet bli det samme om vi roterer det om \( z \)-aksen. Feltet kan derfor ikke avhenge av \( \phi \).
d) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at ingen av komponentene til det elektriske feltet kan avhenge av \( r \)?
Det betyr at det elektriske feltet har denne formen: $$\vec{E} = E_r(z) \rhat + E_{\phi}(z) \phihat + E_z(z) \z$$
e) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at \( E_r \) må være null?
Anta at \( E_r \) ikke er null når vi beskriver systemet i et sylindrisk koordinatsystem med akse gjennom origo. Da vil det elektriske feltet i punktet \( (a,0,0) \) være \( E_r(z) \). Men siden systemet er identisk hvis vi forflytter oss i \( xy \)-planet, så kan vi i stedet beskrive systemet om en akse gjennom punktet \( (2a,0,0) \). Da vil det elektriske feltet i punktet \( (a,0,0) \) våre \( -E_r(z) \). (La deg en skisse for å se dette). Hmmm. Det betyr at \( E_r(z) = 0 \).
f) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at \( E_{\phi} \) må være null? Kan du også lage et argument som ikke bygger på symmetri?
Vi kan bruke samme type argument for å vise et \( E_{\phi} \) må være null som vi brukte for at \( E_r(z) \) må være null. Lag en tegning og overbevis deg selv om at det er sant.
Vi kan også bruke at \( \oint_C \vec{E} \cdot \d \vec{l} = 0 \) for alle lukkede baner \( C \). Hvis vi lager en sirkel om \( z \)-aksen, så vil \( \oint_C \vec{E} \cdot \d \vec{l} = 2\pi E_{\phi}(z) \). Siden denne må være null, må også \( E_{\phi}(z) = 0 \).
Vi sitter nå igjen med at \( \vec{E} = E_z(z) \z \).
g) Vi kan finne enda en symmetri. Hvordan er \( E_z(z) \) relatert til \( E_z(-z) \) og hvordan kan du argumentere for svaret ditt?
Fordi systemet er det samme hvis vi speiler det om \( xy \)-planet, må også det elektriske feltet bli det samme hvis vi speiler det om \( xy \)-planet. Det betyr at hvis feltet peker oppover (\( E_z(z) >0) \) for \( z>0 \) så må feltet være like stort og peke nedover for \( -z \). Det betyr at \( E_z(z) = - E_z(-z) \). (Igjen kan det være lurt å lage en tegning for å overbevise deg selv om dette).
Vi ønsker å bruke Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet fra det ladede planet.
h) Hva slags Gaussflate bør vi velge?
Husk at Gaussflaten må være en lukket flate!
Enhver flate som er formet som et prisme som består av en flate \( S \) som er parallel med \( xy \)-planet med en høyde \( h \) kan være en god Gaussflate.
i) Regn ut ladningen som er på innsiden av Gauss-flaten som du har valgt, \( Q_{\text{in}} \).
Ladningen vil være \( \rho_S S \), hvor \( S \) er arealet til tverrsnittet til prismet gjennom \( xy \)-planet.
j) Regn ut fluksen av det elektriske feltet gjennom alle flatene som til sammen utgjør den lukkede Gaussflaten.
Det er ingen fluks ut gjennom flatene som peker i \( x \) og \( y \) retningene. Fluksen gjennom den øvre flaten vil være \( E_z(z)S \). Hva med den nedre overflaten? Hvis vi plasserer denne på et vilkårlig sted, \( z_2 < 0 \), så vil vi få at fluksen er \( E_z(z_2) (-S) \). Hmmm. Det var ikke så nyttig, fordi den totale fluksen da blir \( E_z(z) + E_z(z_2) \). Det hadde vært bedre om vi kunne hadde en \( z \)-verdi. Det kan vi fikse! Vi kan velge \( z_2 = -z \). Da blir \( E_z(z_2) = E_z(-z) = - E_z(z) \) og dermed blir fluksen ut av den nederste overflaten \( E_z(-z) (-S) = E_z(z) S \). Vi ser at de to fluksene er like store. Det gjør at vi kan skrive Gauss lov som $$ \Phi_1 + \Phi_2 = E_z(z) S + E_z(z)S = \rho_S S/\epsilon_0$$ og dermed \( E_z(z) = \rho_S/(2 \epsilon_0) \).
Merk deg det litt spesielle trikset vi brukte her, ved å velge flaten slik at den er symmetrisk om \( xy \)-planet. Det er et naturlig valg, siden ladningsfordelingen er symmetrisk om \( xy \)-planet, dvs, ladningsfordelingen er den samme dersom vi speiler systemet om \( xy \)-planet. Det er disse symmetriene vi må fange opp og bruke når vi bruker Gauss lov.
k) Bruk så Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet.
l) Din venn Q lurer på hvorfor du ikke valgte å bruke en kuleflate som Gaussflate. Den er jo også rotasjonssymmetrisk på samme måte som en sylinder. Hvorfor kan du ikke eller ønsker du ikke å bruke en kuleflate som Gaussflate? Eller kan du bruke en kuleflate?
Vi kan bruke en kuleflate i dette tilfellet. Men da får vi jo forskjellig \( z \)-verdier og dermed forskjellige \( E_z \) verdier forskjellige steder på kuleoverflaten. Det er ikke så heldig, fordi vi ikke vet hva \( E_z(z) \) er. Vi må velge en Gaussflate slik at feltet er konstant på Gaussflaten - ellers er det vanskelig å bruke Gauss lov til å finne det elektriske feltet.
m) Din venn Q synes heksagoner er flotte. Kan du bruke et heksagonalt prisme (et prisme som har et heksagon som grunnflate og en høyde \( h \)) som Gaussflate?
Ja
La oss i stedet anta at ladningsfordelingen ikke er uniform i planet, men at den fremdeles er i et plan, men at ladningstettheten avhenger av avstanden inn til \( z \)-aksen, \( r \).
n) Hvilke deler av symmetri-argumentene dine må du endre på? Kan vi fremdeles bruke Gauss lov til å finne det elektriske feltet?
Nei, vi kan ikke bruke Gauss lov til å finne det elektriske feltet.