Vi skal øve på symmetrier ved å finne symmetriene til et uendelig stort, uniformt ladet plan med flateladningstetthet \( \rho_S \). (Vi antar at planet er \( xy \)-planet).
a) Hva betyr det at planet er uniformt ladet?
At ladningstettheten er den samme overalt i planet.
b) Hva slags symmetrier har dette systemet? List opp alle du kommer på --- de kan være nyttige når vi skal beskrive det elektriske feltet.
Vi ønsker å beskrive det elekriske feltet med sylinderkoordinater. $$\vec{E} = E_r(r, \phi, z) \rhat + E_{\phi}(r, \phi, z) \phihat + E_z(r, \phi, z) \z$$
c) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at ingen av komponentene til det elektriske feltet kan avhenge av \( \phi \)?
d) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at ingen av komponentene til det elektriske feltet kan avhenge av \( r \)?
Det betyr at det elektriske feltet har denne formen: $$\vec{E} = E_r(z) \rhat + E_{\phi}(z) \phihat + E_z(z) \z$$
e) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at \( E_r \) må være null?
f) Hvordan kan du bruke symmetri til å argumentere for at \( E_{\phi} \) må være null? Kan du også lage et argument som ikke bygger på symmetri?
Vi sitter nå igjen med at \( \vec{E} = E_z(z) \z \).
g) Vi kan finne enda en symmetri. Hvordan er \( E_z(z) \) relatert til \( E_z(-z) \) og hvordan kan du argumentere for svaret ditt?
Vi ønsker å bruke Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet fra det ladede planet.
h) Hva slags Gaussflate bør vi velge?
Husk at Gaussflaten må være en lukket flate!
i) Regn ut ladningen som er på innsiden av Gauss-flaten som du har valgt, \( Q_{\text{in}} \).
j) Regn ut fluksen av det elektriske feltet gjennom alle flatene som til sammen utgjør den lukkede Gaussflaten.
k) Bruk så Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet.
l) Din venn Q lurer på hvorfor du ikke valgte å bruke en kuleflate som Gaussflate. Den er jo også rotasjonssymmetrisk på samme måte som en sylinder. Hvorfor kan du ikke eller ønsker du ikke å bruke en kuleflate som Gaussflate? Eller kan du bruke en kuleflate?
m) Din venn Q synes heksagoner er flotte. Kan du bruke et heksagonalt prisme (et prisme som har et heksagon som grunnflate og en høyde \( h \)) som Gaussflate?
Ja
La oss i stedet anta at ladningsfordelingen ikke er uniform i planet, men at den fremdeles er i et plan, men at ladningstettheten avhenger av avstanden inn til \( z \)-aksen, \( r \).
n) Hvilke deler av symmetri-argumentene dine må du endre på? Kan vi fremdeles bruke Gauss lov til å finne det elektriske feltet?
Nei, vi kan ikke bruke Gauss lov til å finne det elektriske feltet.