Anta at du har en halvkule med radius \( a \) med en uniformt fordelt ladning \( Q \). Halvkulen ligger med sentrum i origo og på negativ side av \( xy \)-planet. (Den ligger altså kun der hvor \( z < 0 \)).
a) Tegn systemet.
b) Forklar hvordan du kan bruke symmetri og superposisjon til å finne det elektriske felet \( E_x(x) \) langs \( x \)-aksen for \( x>a \) og finn feltet.
\( E_x(x) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2} \)
Denne oppgaven krever en litt finurlig og elegant bruk av symmetri og superposisjon. Vi vet at for en helt kule vil det elektriske feltet for \( x>a \) være $$E_r(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$ Det elektriske feltet fra kulen er summen av det elektriske feltet fra to halvkuler. For et punkt \( x \) vil det være summen av det elektriske feltet fra halvkulen \( z>0 \) pluss det elektriske feltet fra halvkulen \( z < 0 \). Det elektriske feltet i et punkt \( (x,0,0) \) være summen av feltet fra alle volumelementer \( \d v \) i den ene halvkulen pluss summen av feltet for alle volumelementer i den andre halvkulen. For en positiv ladning \( Q \) vil bidraget fra alle disse elementene bidra i samme retning for feltet \( E_x(x) \). For hvert volumeelement i den øverste kulen vil det være et volumelement som ligger symmetrisk om \( xy \)-planet. Disse to volumelementene vil ha det samme bidraget til \( E_x(x) \). Det betyr at feltet \( E_x(x) \) vil være halvparten av feltet fra kulen. Hvis ladningen til halvkulen er \( Q \) så er ladningen til hele kulen \( 2Q \). Dermed er feltet $$E_x(x) = \frac{1}{2}\frac{2Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2}$$
c) Kan du bruke det samme argumentet for å finne \( E_y(y) \).
Ja, det er ikke noen forskjell på \( x \)- og \( y \)-aksen for dette systemet.
d) Kan du bruke et tilsvarende argument for å finne \( E_z(z) \)?
Nei